Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

Vis at $P (1) = 0$

Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere $P (x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 \leq 0$

Fasit

$P (1) = 0$

$P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$

$x \leq 1 eller 2 \leq x \leq 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 1$ inn i uttrykket for $P (x)$

P (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

Siden $P (1) = 0$ , er dette vist.

Siden $P (1) = 0$ , vet vi fra faktorsetningen at $(x - 1)$ er en faktor i $P (x)$ . Vi utfører polynomdivisjon

(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) : (x - 1) = x^{2} - 5 x + 6

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^{2} - 5 x + 6$ videre. Vi leter etter to tall som har produkt $6$ og sum $- 5$ , og finner $- 2$ og $- 3$ :

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Dermed er

P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

Vi skal løse ulikheten $P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) \leq 0$ . Nullpunktene til $P$ er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ . Vi setter opp fortegnslinje for hver faktor og for produktet:

Fortegnslinje for P(x)

Vi ser at $P (x) \leq 0$ når $x \leq 1$ eller når $2 \leq x \leq 3$ (nullpunktene er inkludert siden ulikheten ikke er streng). Dermed er

x \leq 1 eller 2 \leq x \leq 3

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2013, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

Lov på eksamen

Temaer