Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + k \cdot x + 12

Bestem $k$ slik at divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp.

Sett inn verdien for $k$ fra oppgave a), og bruk blant annet polynomdivisjon til å skrive $f (x)$ som et produkt av lineære faktorer.

Løs ulikheten

\frac{x^{2} + x - 12}{x - 1} \geq 0

Fasit

$k = - 13$

$f (x) = (x - 1) (x + 4) (x - 3)$

$x \in [- 4, 1 ⟩ \cup [3, \infty ⟩$

LøsningsforslagKI-generert

Divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp hvis og bare hvis $x = 1$ er et nullpunkt, altså $f (1) = 0$ :

f (1) = 1^{3} + k \cdot 1 + 12 = 13 + k = 0

k = - 13

Med $k = - 13$ er $f (x) = x^{3} - 13 x + 12$ . Vi utfører polynomdivisjon med $(x - 1)$ :

$x^3$

$+ 0x^2$

$- 13x$

$+ 12$

$: (x-1) = x^2 + x - 12$

$-(x^3$

$- x^2)$

$x^2$

$-13x$

$+12$

$-(x^2$

$-x)$

$-12x$

$+12$

$-(-12x$

$+12)$

$0$

Dermed er $f (x) = (x - 1) (x^{2} + x - 12)$ . Andregradsuttrykket faktoriseres videre:

x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)

f (x) = (x - 1) (x + 4) (x - 3)

Vi løser ulikheten

\frac{x^{2} + x - 12}{x - 1} \geq 0

Telleren faktoriseres som i b): $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ . Uttrykket er ikke definert for $x = 1$ . Vi setter opp fortegnslinje med kritiske punkter $x = - 4$ , $x = 1$ og $x = 3$ :

Fortegnslinje for (x+4)(x-3)(x-1)

Uttrykket er $\geq 0$ der fortegnet er positivt, samt i nullpunktene til telleren ( $x = - 4$ og $x = 3$ ). Punktet $x = 1$ må utelukkes siden uttrykket ikke er definert der:

x \in [- 4, 1 ⟩ \cup [3, \infty ⟩

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2018, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Rasjonale funksjoner

Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

Lov på eksamen

Temaer