Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24

Vis at $P (3) = 0$ .

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P (x)$ i førstegradsfaktorer.

Forkort brøken $\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24}{2 x^{2} - 8}$ .

Fasit

$P (3) = 0$

$P (x) = 2 (x - 3) (x - 2) (x + 2)$

$x - 3$ (for $x \neq \pm 2$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 3$ inn i uttrykket for $P (x)$ :

P (3) = 2 \cdot 3^{3} - 6 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 24 = 54 - 54 - 24 + 24 = 0

Siden $P (3) = 0$ , er $x = 3$ et nullpunkt for $P$ .

Siden $P (3) = 0$ , vet vi fra a) at $(x - 3)$ er en faktor i $P (x)$ . Vi utfører polynomdivisjon:

(2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24) \div (x - 3) = 2 x^{2} - 8

Utregning:

2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24 - \underset{2 x^{3} - 6 x^{2}}{\underset{⏟}{(2 x^{2}) (x - 3)}} = - 8 x + 24

- 8 x + 24 - \underset{- 8 x + 24}{\underset{⏟}{(- 8) (x - 3)}} = 0

Dermed er $P (x) = (x - 3) (2 x^{2} - 8) = 2 (x - 3) (x^{2} - 4)$ .

Vi faktoriserer $x^{2} - 4$ som en konjugatsetning: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Dette gir

P (x) = 2 (x - 3) (x - 2) (x + 2)

Vi bruker faktoriseringen fra b) i telleren, og faktoriserer nevneren som en konjugatsetning:

\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24}{2 x^{2} - 8} = \frac{2 (x - 3) (x - 2) (x + 2)}{2 (x - 2) (x + 2)}

Vi forkorter mot felles faktorer $2$ , $(x - 2)$ og $(x + 2)$ (forutsatt at $x \neq \pm 2$ , slik at nevneren ikke er null), og står igjen med

\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24}{2 x^{2} - 8} = x - 3, x \neq \pm 2

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2015, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering

Innstillinger