Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = 2x^3 - 26x + 24

Forklar hvordan vi kan avgjøre om divisjonen $P(x) : (x - 1)$ vil gå opp, uten å utføre divisjonen.

Faktoriser $P(x)$ i lineære faktorer (førstegradsfaktorer).

Fasit

$P(1) = 0$ , så $(x-1)$ er en faktor.

$\underline{\underline{P(x) = 2(x-1)(x-3)(x+4)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Faktorsetningen sier at $(x - a)$ er en faktor i polynomet $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a) = 0$ .

Vi avgjør derfor om $(x-1)$ er en faktor ved å sjekke om $x = 1$ er et nullpunkt:

P(1) = 2 \cdot 1^3 - 26 \cdot 1 + 24 = 2 - 26 + 24 = 0

Siden $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor i $P(x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $P(x) : (x-1)$ :

\require{enclose}

2x^3 + 0x^2 - 26x + 24 : (x - 1) = 2x^2 + 2x - 24

Vi kontrollerer steg for steg:

$2x^3 : x = 2x^2$ . Trekker fra $2x^2 \cdot (x-1) = 2x^3 - 2x^2$ . Rest: $2x^2 - 26x + 24$ .
$2x^2 : x = 2x$ . Trekker fra $2x \cdot (x-1) = 2x^2 - 2x$ . Rest: $-24x + 24$ .
$-24x : x = -24$ . Trekker fra $-24 \cdot (x-1) = -24x + 24$ . Rest: $0$ .

Altså:

P(x) = (x-1)(2x^2 + 2x - 24) = 2(x-1)(x^2 + x - 12)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^2 + x - 12$ ved å finne to tall som multipliserer til $-12$ og adderer til $1$ : tallene $4$ og $-3$ .

x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)

Dermed er:

P(x) = \mathbf{\underline{\underline{2(x-1)(x-3)(x+4)}}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter