Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = 2 x^{3} - 26 x + 24

Forklar hvordan vi kan avgjøre om divisjonen $P (x) : (x - 1)$ vil gå opp, uten å utføre divisjonen.

Faktoriser $P (x)$ i lineære faktorer (førstegradsfaktorer).

Fasit

$P (1) = 0$ , så $(x - 1)$ er en faktor.

$P (x) = 2 (x - 1) (x - 3) (x + 4)$

LøsningsforslagKI-generert

Faktorsetningen sier at $(x - a)$ er en faktor i polynomet $P (x)$ hvis og bare hvis $P (a) = 0$ .

Vi avgjør derfor om $(x - 1)$ er en faktor ved å sjekke om $x = 1$ er et nullpunkt:

P (1) = 2 \cdot 1^{3} - 26 \cdot 1 + 24 = 2 - 26 + 24 = 0

Siden $P (1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor i $P (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $P (x) : (x - 1)$ :

2 x^{3} + 0 x^{2} - 26 x + 24 : (x - 1) = 2 x^{2} + 2 x - 24

Vi kontrollerer steg for steg:

$2 x^{3} : x = 2 x^{2}$ . Trekker fra $2 x^{2} \cdot (x - 1) = 2 x^{3} - 2 x^{2}$ . Rest: $2 x^{2} - 26 x + 24$ .
$2 x^{2} : x = 2 x$ . Trekker fra $2 x \cdot (x - 1) = 2 x^{2} - 2 x$ . Rest: $- 24 x + 24$ .
$- 24 x : x = - 24$ . Trekker fra $- 24 \cdot (x - 1) = - 24 x + 24$ . Rest: $0$ .

Altså:

P (x) = (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 24) = 2 (x - 1) (x^{2} + x - 12)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^{2} + x - 12$ ved å finne to tall som multipliserer til $- 12$ og adderer til $1$ : tallene $4$ og $- 3$ .

x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)

Dermed er:

P (x) = 𝟐 (𝐱 - 𝟏) (𝐱 - 𝟑) (𝐱 + 𝟒)

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2012, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjoner

Innstillinger