Ifølge faktorteoremet går $(x^3+2x^2-21x+18):(x-1)$ opp uten rest dersom $x=1$ er et nullpunkt i polynomet. Vi setter inn $x=1$:

Siden $f(1)=0$, er $(x-1)$ en faktor i polynomet, og divisjonen går opp.

Vi gjennomfører polynomdivisjonen $(x^3+2x^2-21x+18):(x-1)$:

Vi faktoriserer kvotienten $x^2+3x-18$. Vi søker to tall med sum $3$ og produkt $-18$: det er $6$ og $-3$.

Tellerpolynomet er altså $(x-1)(x+6)(x-3)$. Nevneren faktoriseres som $x^2-1=(x+1)(x-1)$.

Vi forkorter den felles faktoren $(x-1)$:

${\displaystyle \frac{x^3+2x^2-21x+18}{x^2-1}}=\underline{\underline{{\displaystyle \frac{(x+6)(x-3)}{x+1}}}}$

Vi faktoriserer divisoren $x^2+2x-3$. Vi søker to tall med sum $2$ og produkt $-3$: det er $3$ og $-1$.

Divisoren har nullpunktene $x=-3$ og $x=1$. For at divisjonen $(x^3+ax+b):(x^2+2x-3)$ skal gå opp, må disse nullpunktene også være nullpunkter i telleren $p(x)=x^3+ax+b$.

Vi setter opp likningssystemet:

Fra den første likningen får vi $b=-1-a$. Dette setter vi inn i den andre:

$\underline{\underline{a=-7}}$ og $\underline{\underline{b=6}}$