Ifølge faktorteoremet går $(x^3 + 2x^2 - 21x + 18) : (x - 1)$ opp uten rest dersom $x = 1$ er et nullpunkt i polynomet. Vi setter inn $x = 1$:

Siden $f(1) = 0$, er $(x-1)$ en faktor i polynomet, og divisjonen går opp.

Vi gjennomfører polynomdivisjonen $(x^3 + 2x^2 - 21x + 18) : (x - 1)$:

Vi faktoriserer kvotienten $x^2 + 3x - 18$. Vi søker to tall med sum $3$ og produkt $-18$: det er $6$ og $-3$.

Tellerpolynomet er altså $(x-1)(x+6)(x-3)$. Nevneren faktoriseres som $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$.

Vi forkorter den felles faktoren $(x-1)$:

$\dfrac{x^3 + 2x^2 - 21x + 18}{x^2 - 1} = \underline{\underline{\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}}}$

Vi faktoriserer divisoren $x^2 + 2x - 3$. Vi søker to tall med sum $2$ og produkt $-3$: det er $3$ og $-1$.

Divisoren har nullpunktene $x = -3$ og $x = 1$. For at divisjonen $(x^3 + ax + b) : (x^2 + 2x - 3)$ skal gå opp, må disse nullpunktene også være nullpunkter i telleren $p(x) = x^3 + ax + b$.

Vi setter opp likningssystemet:

Fra den første likningen får vi $b = -1 - a$. Dette setter vi inn i den andre:

$\underline{\underline{a = -7}}$ og $\underline{\underline{b = 6}}$