Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 31 x - 28

Vis, uten å utføre polynomdivisjon, at $P (x)$ ikke er delelig med $(x - 1)$ .

Utfør polynomdivisjonen $P (x) : (x + 1)$ .

Løs ulikheten $P (x) \geq 0$ .

Løs likningen $e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 31 e^{x} - 28 = 0$ .

Fasit

$P (1) = - 60 \neq 0$

$P (x) : (x + 1) = x^{2} - 3 x - 28$

$x \in {- 4} \cup [7, \to ⟩$

$x = \ln 7$

LøsningsforslagKI-generert

Dersom $P (x)$ er delelig med $(x - 1)$ , må $P (1) = 0$ (faktorteoremet).

P (1) = 1 - 2 - 31 - 28 = - 60 \neq 0

Altså er $P (x)$ ikke delelig med $(x - 1)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen:

\begin{matrix} (x^{3} - 2 x^{2} - 31 x - 28 & ) : (x + 1) = x^{2} - 3 x - 28 \\ x^{3} + 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 3 x^{2} - 31 x - 28 \\ - 3 x^{2} - 3 x + 0 \\ - 28 x - 28 \\ - 28 x - 28 \\ 0 \end{matrix}

Altså $P (x) = (x + 1) (x^{2} - 3 x - 28)$ .

Vi faktoriserer $x^{2} - 3 x - 28$ :

x^{2} - 3 x - 28 = (x - 7) (x + 4)

Dermed er $P (x) = (x + 1) (x + 4) (x - 7)$ med nullpunkter $x = - 4$ , $x = - 1$ og $x = 7$ .

Fortegnslinje:

Fortegnslinje for P(x)

$P (x) \geq 0$ for $x = - 4$ , $x \in [- 4, - 1]$ … nei, la oss sjekke:

For $x = - 3$ : $P (- 3) = (- 3 + 1) (- 3 + 4) (- 3 - 7) = (- 2) (1) (- 10) = 20 > 0$ ✓

P (x) \geq 0 for x \in [- 4, - 1] \cup [7, \to ⟩

Vi setter $u = e^{x}$ i likningen $e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 31 e^{x} - 28 = 0$ :

u^{3} - 2 u^{2} - 31 u - 28 = 0

Dette er $P (u) = 0$ , som fra oppgave b) og c) har løsningene $u = - 4$ , $u = - 1$ og $u = 7$ .

Siden $u = e^{x} > 0$ , er den eneste gyldige løsningen $u = 7$ :

e^{x} = 7 \Rightarrow x = \ln 7 \approx 1,95

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2021, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger