Polynomdivisjon med rest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Utfør divisjonen

(x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5)

Bestem $t$ slik at divisjonen nedenfor går opp.

(x^3 + t x^2 + 5x - 2t) : (x + 1)

Fasit

$\underline{\underline{x^2 - 4}}$ , faktorisert: $\underline{\underline{(x-5)(x-2)(x+2)}}$

$\underline{\underline{t = -6}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utfører polynomdivisjonen $(x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5)$ .

\begin{aligned} (x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5) &= x^2 \quad \text{siden } x^3 : x = x^2 \\ x^2 \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \end{aligned}

Vi trekker fra og fortsetter:

\begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 4x + 20 \\ -\; &(x^3 - 5x^2) \\ \hline &\phantom{x^3 - 5x^2} - 4x + 20 \end{aligned}

-4x + 20 : (x - 5) = -4 \quad \text{siden } -4x : x = -4

-4 \cdot (x - 5) = -4x + 20

Resten er $0$ , og vi får:

(x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5) = \underline{\underline{x^2 - 4}}

Vi kan faktorisere videre siden $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ :

x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = \underline{\underline{(x-5)(x-2)(x+2)}}

Vi skal bestemme $t$ slik at $(x^3 + tx^2 + 5x - 2t) : (x + 1)$ går opp, dvs. at resten blir null.

Divisjonen $(x^3 + tx^2 + 5x - 2t) : (x + 1)$ går opp hvis og bare hvis $x = -1$ er et nullpunkt for telleren. Vi setter inn $x = -1$ :

(-1)^3 + t \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 2t = 0

-1 + t - 5 - 2t = 0

-6 - t = 0

t = -6

Kontroll: Med $t = -6$ blir polynomet $x^3 - 6x^2 + 5x + 12$ .

(-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) + 12 = -1 - 6 - 5 + 12 = 0 \checkmark

\underline{\underline{t = -6}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter