Polynom og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7

Begrunn at $P (x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Løs ulikheten $P (x) \geq 0$ .

Forkort brøken

\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7}

Fasit

$P (1) = 0$ , så $P (x)$ er delelig med $(x - 1)$

$x \in {1} \cup [7, \to ⟩$

$\frac{1}{x - 7}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 1$ :

P (1) = 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 7 = 1 - 9 + 15 - 7 = 0

Siden $P (1) = 0$ , er $P (x)$ delelig med $(x - 1)$ ifølge faktorsettningen.

Vi utfører polynomdivisjon $P (x) : (x - 1)$ :

P (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

x^{2} - 8 x + 7 = (x - 1) (x - 7)

Altså:

P (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 7)

Vi løser ulikheten $P (x) \geq 0$ :

${(x - 1)}^{2} \geq 0$ for alle $x$ , så fortegnet til $P (x)$ bestemmes av $(x - 7)$ .

x \in {1} \cup [7, \to ⟩

Vi kjenner igjen telleren som et fullstendig kvadrat:

x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}

Fra oppgave b) har vi $P (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 7)$ . Vi forkorter:

\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{3} - 9 x^{2} + 15 x - 7} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} (x - 7)} = \frac{1}{x - 7}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2020, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Rasjonale funksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger