Polynom og ulikhet med P(x)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} + 6 x^{2} + k \cdot x - 30

Begrunn at $k$ må være lik $- 1$ for at divisjonen $P (x) : (x - 2)$ skal gå opp.

Faktoriser $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $x^{3} + 6 x^{2} \leq x + 30$

Fasit

$k = - 1$

$P (x) = (x - 2) (x + 3) (x + 5)$

$x \leq - 5 eller - 3 \leq x \leq 2$

LøsningsforslagKI-generert

Skal divisjonen $P (x) : (x - 2)$ gå opp uten rest, må $x = 2$ være et nullpunkt av $P$ , altså $P (2) = 0$ .

P (2) = 2^{3} + 6 \cdot 2^{2} + k \cdot 2 - 30 = 8 + 24 + 2 k - 30 = 2 k + 2

2 k + 2 = 0 \Rightarrow k = - 1

Med $k = - 1$ er $P (x) = x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ . Fra a) vet vi at $(x - 2)$ er en faktor. Polynomdivisjon gir

x^{3} + 6 x^{2} - x - 30 = (x - 2) (x^{2} + 8 x + 15)

Andregradsuttrykket faktoriseres videre: $x^{2} + 8 x + 15 = (x + 3) (x + 5)$ .

P (x) = (x - 2) (x + 3) (x + 5)

Ulikheten $x^{3} + 6 x^{2} \leq x + 30$ omskrives til $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30 \leq 0$ , som fra b) er det samme som

(x - 2) (x + 3) (x + 5) \leq 0

Nullpunktene til faktorene er $x = - 5$ , $x = - 3$ og $x = 2$ . Vi undersøker fortegnet til produktet i hvert av de fire intervallene:

Fortegnslinje for P(x)

Ulikheten er oppfylt der produktet er negativt eller null, altså i intervallene $x \leq - 5$ og $- 3 \leq x \leq 2$ .

x \leq - 5 eller - 3 \leq x \leq 2

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2019, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Innstillinger