Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6

Vis at divisjonen $f (x) : (2 x - 1)$ går opp.

Faktoriser $f (x)$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $f (x) \geq (2 x - 1) (x + 2)$

Fasit

$f (\frac{1}{2}) = 0$ , så divisjonen går opp.

$f (x) = (2 x - 1) (x - 3) (x + 2)$

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2} eller x \geq 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = \frac{1}{2}$ (nullpunktet til $2 x - 1$ ) i $f (x)$ :

f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 11 \cdot \frac{1}{2} + 6 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{11}{2} + 6 = 0

Siden $f (\frac{1}{2}) = 0$ , er $(2 x - 1)$ en faktor i $f (x)$ , og divisjonen $f (x) : (2 x - 1)$ går derfor opp.

Vi utfører polynomdivisjonen $f (x) : (2 x - 1)$ :

\begin{matrix} (2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 & ) : (2 x - 1) = x^{2} - x - 6 \\ 2 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 2 x^{2} - 11 x + 6 \\ - 2 x^{2} + 1 x + 0 \\ - 12 x + 6 \\ - 12 x + 6 \\ 0 \end{matrix}

Vi faktoriserer resten videre: $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ .

f (x) = (2 x - 1) (x - 3) (x + 2)

Vi flytter alt over på venstre side og bruker faktoriseringen fra b):

f (x) - (2 x - 1) (x + 2) \geq 0

(2 x - 1) (x - 3) (x + 2) - (2 x - 1) (x + 2) \geq 0

Vi faktoriserer ut $(2 x - 1) (x + 2)$ :

(2 x - 1) (x + 2) [(x - 3) - 1] \geq 0

(2 x - 1) (x + 2) (x - 4) \geq 0

Faktorene er null for $x = \frac{1}{2}$ , $x = - 2$ og $x = 4$ . Vi setter opp fortegnslinje for de tre faktorene, sortert etter størrelse ( $- 2 < \frac{1}{2} < 4$ ):

Fortegnslinje for (2x-1)(x+2)(x-4)

Uttrykket er $\geq 0$ der produktet er positivt eller null, altså for

- 2 \leq x \leq \frac{1}{2} eller x \geq 4

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2019, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

Lov på eksamen

Temaer