Polynom med delelighetskriterium

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 12 x - 16

Begrunn, uten å utføre polynomdivisjon, at $P (x)$ er delelig med $(x + 2)$ , men ikke med $(x - 2)$ .

Forkort brøken

\frac{x^{3} - 12 x - 16}{4 x - 16}

Fasit

$P (- 2) = 0$ , så $(x + 2)$ er faktor. $P (2) = - 32 \neq 0$ , så $(x - 2)$ er ikke faktor.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorsettningen. Et polynom $P (x)$ er delelig med $(x - a)$ hvis og bare hvis $P (a) = 0$ .

P (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot (- 2) - 16 = - 8 + 24 - 16 = 0

Siden $P (- 2) = 0$ , er $P (x)$ delelig med $(x + 2)$ .

P (2) = 2^{3} - 12 \cdot 2 - 16 = 8 - 24 - 16 = - 32 \neq 0

Siden $P (2) \neq 0$ , er $P (x)$ ikke delelig med $(x - 2)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $P (x) : (x + 2)$ :

x^{3} - 12 x - 16 = (x + 2) (x^{2} - 2 x - 8)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2)

Altså: $P (x) = {(x + 2)}^{2} (x - 4)$ .

Vi forkorter brøken:

\frac{x^{3} - 12 x - 16}{4 x - 16} = \frac{{(x + 2)}^{2} (x - 4)}{4 (x - 4)} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2020, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Algebra, Rasjonale funksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger