Platons formel for pytagoreiske tripler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et pytagoreisk trippel er tre hele tall $a$ , $b$ og $c$ der $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Platons formel for å finne slike pytagoreiske tripler ser du nedenfor.

Platons formel

{(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2} = {(n^{2} + 1)}^{2} når n = 2, 3, 4, \dots

Eksempel når $n = 2$ :

\begin{matrix} {(2^{2} - 1)}^{2} + {(2 \cdot 2)}^{2} & = {(2^{2} + 1)}^{2} \\ 3^{2} + 4^{2} & = 5^{2} \end{matrix}

Dermed er $(3, 4, 5)$ et pytagoreisk trippel.

Kalkulator

Regn ut hvilket pytagoreisk trippel du får dersom $n = 6$ .

Kalkulator

Tallene $(120, 22, 122)$ er et pytagoreisk trippel. Hva er verdien av $n$ i dette tilfellet?

For hånd

Vis at ${(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2} = {(n^{2} + 1)}^{2}$ ved å regne ut venstre side og høyre side i likningen.

Fasit

$(35, 12, 37)$

$n = 11$

Se utregning under (identiteten stemmer)

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $n = 6$ inn i Platons formel:

n^{2} - 1 = 6^{2} - 1 = 36 - 1 = 35

2 n = 2 \cdot 6 = 12

n^{2} + 1 = 6^{2} + 1 = 36 + 1 = 37

Det pytagoreiske trippelet er $(35, 12, 37)$ . Vi kontrollerer:

35^{2} + 12^{2} = 1225 + 144 = 1369 = 37^{2}

$(35, 12, 37)$

I trippelet $(120, 22, 122)$ svarer tallene til $n^{2} - 1$ , $2 n$ og $n^{2} + 1$ i formelen. Det minste tallet i formelen som er lett å bruke, er $2 n = 22$ . Da er

\begin{matrix} 2 n & = 22 \\ n & = \frac{22}{2} \\ n & = 11 \end{matrix}

Vi kontrollerer med de to andre tallene:

n^{2} - 1 = 11^{2} - 1 = 121 - 1 = 120

n^{2} + 1 = 11^{2} + 1 = 121 + 1 = 122

Begge stemmer med trippelet $(120, 22, 122)$ .

$n = 11$

Vi skal vise at ${(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2} = {(n^{2} + 1)}^{2}$ ved å regne ut hver side for seg.

Venstre side. Vi bruker kvadratsetningen ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ på det første leddet:

{(n^{2} - 1)}^{2} = {(n^{2})}^{2} - 2 \cdot n^{2} \cdot 1 + 1^{2} = n^{4} - 2 n^{2} + 1

Det andre leddet er

{(2 n)}^{2} = 4 n^{2}

Venstre side blir da

{(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2} = n^{4} - 2 n^{2} + 1 + 4 n^{2} = n^{4} + 2 n^{2} + 1

Høyre side. Vi bruker kvadratsetningen ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ :

{(n^{2} + 1)}^{2} = {(n^{2})}^{2} + 2 \cdot n^{2} \cdot 1 + 1^{2} = n^{4} + 2 n^{2} + 1

Sammenligning. Vi ser at

n^{4} + 2 n^{2} + 1 = n^{4} + 2 n^{2} + 1

Venstre side er lik høyre side for alle verdier av $n$ , og dermed er likheten ${(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2} = {(n^{2} + 1)}^{2}$ vist.

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2015, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Algebra, Pytagoras, Bevis

Platons formel for pytagoreiske tripler

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Platons formel for pytagoreiske tripler

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Platons formel for pytagoreiske tripler

Platons formel for pytagoreiske tripler

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer