Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Båten til en pirat kjører med konstant fart. Posisjonen ${\vec{r}}_{1}$ til båten etter $t$ timer er

{\vec{r}}_{1} (t) = [2 + 24 t, 4 + 20 t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Kalkulator

Hvor stor er banefarten til båten?

Politiet ønsker å stoppe piraten. Samtidig som piraten er i punktet $(2,4)$ , starter en politibåt sin jakt. Politibåten starter i punktet $(0,10)$ og holder konstant fart langs en rett linje. Posisjon ${\vec{r}}_{2}$ til politibåten er

{\vec{r}}_{2} (t) = [26 t, 10 - 22 t]

For hånd

Undersøk om politiet vil møte piraten.

En annen politibåt starter også i $(0,10)$ . Denne båten holder også konstant fart.

Kalkulator

Hvor stor må banefarten til denne båten være dersom de skal treffe piraten i punktet $(8,9)$ ?

Fasit

$4 \sqrt{61}$ km/t

Politibåten vil ikke møte piraten. Fra x-koordinaten kreves $t = 1$ , men fra y-koordinaten kreves $t = \frac{1}{7}$ .

Banefarten må være $4 \sqrt{65}$ km/t

LøsningsforslagKI-generert

Hastighetsvektoren til piratbåten finner vi ved å se på koeffisientene foran $t$ i posisjonsuttrykket:

{\vec{r}}_{1} (t) = [2 + 24 t, 4 + 20 t]

Hastighetsvektoren er ${\vec{v}}_{1} = [24, 20]$ .

Banefarten er lengden av hastighetsvektoren:

| {\vec{v}}_{1} | = \sqrt{24^{2} + 20^{2}} = \sqrt{576 + 400} = \sqrt{976} = 4 \sqrt{61} \approx 31,2 km/t

For at båtene skal møtes, må de være på samme sted til samme tid, altså ${\vec{r}}_{1} (t) = {\vec{r}}_{2} (t)$ . Det gir likningssystemet:

2 + 24 t = 26 t og 4 + 20 t = 10 - 22 t

Fra den første likningen:

2 = 2 t ⟹ t = 1

Fra den andre likningen:

42 t = 6 ⟹ t = \frac{1}{7}

De to likningene gir ulike verdier for $t$ . Det finnes derfor ingen tidspunkt der begge koordinatene er like, og politibåten vil ikke møte piraten.

Vi starter med å finne tidspunktet $t$ da piratbåten er i punktet $(8, 9)$ :

2 + 24 t = 8 ⟹ t = \frac{1}{4}

Vi kontrollerer med y-koordinaten: $4 + 20 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 5 = 9$ ✓

Piratbåten er altså i $(8, 9)$ etter $\frac{1}{4}$ time.

Den andre politibåten må gå fra $(0, 10)$ til $(8, 9)$ på $\frac{1}{4}$ time. Strekningen er:

d = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(9 - 10)}^{2}} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}

Banefarten blir:

v = \frac{d}{t} = \frac{\sqrt{65}}{\frac{1}{4}} = 4 \sqrt{65} \approx 32,2 km/t

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri, Likninger

Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer