Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Båten til en pirat kjører med konstant fart. Posisjonen $\vec{r}_1$ til båten etter $t$ timer er

\vec{r}_1(t)=[2+24t,\, 4+20t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Hvor stor er banefarten til båten?

Politiet ønsker å stoppe piraten. Samtidig som piraten er i punktet $(2,4)$ , starter en politibåt sin jakt. Politibåten starter i punktet $(0,10)$ og holder konstant fart langs en rett linje. Posisjon $\vec{r}_2$ til politibåten er

\vec{r}_2(t)=[26t,\, 10-22t]

Undersøk om politiet vil møte piraten.

En annen politibåt starter også i $(0,10)$ . Denne båten holder også konstant fart.

Hvor stor må banefarten til denne båten være dersom de skal treffe piraten i punktet $(8,9)$ ?

Fasit

$4\sqrt{61}$ km/t

Politibåten vil ikke møte piraten. Fra x-koordinaten kreves $t = 1$ , men fra y-koordinaten kreves $t = \frac{1}{7}$ .

Banefarten må være $4\sqrt{65}$ km/t

LøsningsforslagKI-generert

Hastighetsvektoren til piratbåten finner vi ved å se på koeffisientene foran $t$ i posisjonsuttrykket:

\vec{r}_1(t) = [2 + 24t,\; 4 + 20t]

Hastighetsvektoren er $\vec{v}_1 = [24, 20]$ .

Banefarten er lengden av hastighetsvektoren:

|\vec{v}_1| = \sqrt{24^2 + 20^2} = \sqrt{576 + 400} = \sqrt{976} = 4\sqrt{61} \approx 31{,}2 \text{ km/t}

For at båtene skal møtes, må de være på samme sted til samme tid, altså $\vec{r}_1(t) = \vec{r}_2(t)$ . Det gir likningssystemet:

2 + 24t = 26t \quad \text{og} \quad 4 + 20t = 10 - 22t

Fra den første likningen:

2 = 2t \implies t = 1

Fra den andre likningen:

42t = 6 \implies t = \frac{1}{7}

De to likningene gir ulike verdier for $t$ . Det finnes derfor ingen tidspunkt der begge koordinatene er like, og politibåten vil ikke møte piraten.

Vi starter med å finne tidspunktet $t$ da piratbåten er i punktet $(8, 9)$ :

2 + 24t = 8 \implies t = \frac{1}{4}

Vi kontrollerer med y-koordinaten: $4 + 20 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 5 = 9$ ✓

Piratbåten er altså i $(8, 9)$ etter $\frac{1}{4}$ time.

Den andre politibåten må gå fra $(0, 10)$ til $(8, 9)$ på $\frac{1}{4}$ time. Strekningen er:

d = \sqrt{(8-0)^2 + (9-10)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}

Banefarten blir:

v = \frac{d}{t} = \frac{\sqrt{65}}{\frac{1}{4}} = 4\sqrt{65} \approx 32{,}2 \text{ km/t}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri, Likninger

Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Sync på tvers av enheter

Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave