Personbiler per 1000 innbyggere og andregradsregresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Tabellen viser antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i Norge for noen år i perioden 1985–2005.

$x$	0	5	10	15	20
$f (x)$	417	418	426	460	496

Her er $f (x)$ antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere $x$ år etter 1985.

Kalkulator

Bestem gjennomsnittlig veksthastighet fra 1990 til 2000. Hva forteller dette tallet oss?

Krever PC

Bruk regresjon til å finne en polynomfunksjon $f$ av andre grad som tilnærmet beskriver utviklingen ovenfor.

Krever PC

Tegn grafen til $f$ , og marker punktene i tabellen i samme koordinatsystem.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem momentan veksthastighet i år 2000. Marker den momentane veksthastigheten på grafen til $f$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

I år 2001 var det ca. 4 500 000 innbyggere i Norge. Bruk d) til å anslå hvor mange registrerte biler det var dette året.

Fasit

$4,2$ biler per 1000 innbyggere per år

$f (x) \approx 0,274 x^{2} - 1,486 x + 417,1$

Se graf i løsningsforslaget

$f^{'} (15) \approx 6,7$ biler per 1000 innbyggere per år

$\approx 2 100 000$ registrerte biler

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnittlig veksthastighet fra 1990 ( $x = 5$ ) til 2000 ( $x = 15$ ) er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(5, f (5))$ og $(15, f (15))$ :

\frac{f (15) - f (5)}{15 - 5} = \frac{460 - 418}{10} = \frac{42}{10} = 4,2

Dette betyr at antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i gjennomsnitt økte med $4,2$ per år i perioden 1990–2000.

Vi legger tallene fra tabellen inn som punkter og utfører andregradsregresjon:

(0,417), (5,418), (10,426), (15,460), (20,496)

Regresjonen gir

f (x) \approx 0,274 x^{2} - 1,486 x + 417,1

Grafen til $f$ (blå) er tegnet sammen med punktene fra tabellen (røde). Grafen ligger tett opp til punktene, men går ikke nøyaktig gjennom alle, siden $f$ er en tilnærming (regresjon).

Graf med regresjonskurve, datapunkter og tangent i 2000

Momentan veksthastighet i år 2000 ( $x = 15$ ) er $f^{'} (15)$ . Vi deriverer:

f^{'} (x) = 0,548 x - 1,486

f^{'} (15) = 0,548 \cdot 15 - 1,486 \approx 6,7

Den momentane veksthastigheten er markert som tangentlinjen (oransje, stiplet) i punktet på grafen der $x = 15$ , se figuren i c).

Vi bruker resultatet fra d) til å anslå økningen i antall personbiler per 1000 innbyggere fra 2000 til 2001 (ett år), med utgangspunkt i den kjente verdien $f (15) = 460$ fra tabellen:

Anslag 2001 \approx f (15) + f^{'} (15) \cdot 1 \approx 460 + 6,7 = 466,7

Med ca. $4 500 000$ innbyggere i 2001 blir antall registrerte biler

\frac{466,7}{1000} \cdot 4 500 000 \approx 2 100 000

Det var altså omtrent $2 100 000$ registrerte personbiler i Norge i 2001.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2008, del 2, oppgave 3-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Regresjon, Derivasjon

Personbiler per 1000 innbyggere og andregradsregresjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Personbiler per 1000 innbyggere og andregradsregresjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Personbiler per 1000 innbyggere og andregradsregresjon

Personbiler per 1000 innbyggere og andregradsregresjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer