Pentagontall rekursiv og induksjon

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La $P_n$ være antall kuler i figur $n$ .

De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51.

Pentagonfigurer 1–4

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom $P_n$ og $P_{n-1}$ .

Lag et program som regner ut $P_{100}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).

Bestem en eksplisitt formel for $P_n$ , og vis at formelen stemmer ved å gjennomføre et induksjonsbevis.

Fasit

$P_1 = 1$ , $P_n = P_{n-1} + 5(n-1)$ for $n \geq 2$

$\underline{\underline{P_{100} = 24751}}$

$\underline{\underline{P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi observerer differansene mellom påfølgende pentagontall:

P_2 - P_1 = 6 - 1 = 5 = 5 \cdot 1

P_3 - P_2 = 16 - 6 = 10 = 5 \cdot 2

P_4 - P_3 = 31 - 16 = 15 = 5 \cdot 3

P_5 - P_4 = 51 - 31 = 20 = 5 \cdot 4

Mønsteret er at $P_n - P_{n-1} = 5(n-1)$ , altså legger man til $5(n-1)$ kuler for å gå fra figur $n-1$ til figur $n$ .

Rekursiv sammenheng:

\begin{cases} P_1 = 1 \\ P_n = P_{n-1} + 5(n-1) & \text{for } n \geq 2 \end{cases}

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a) direkte i et program:

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5*(n-1)
print(P)

Programmet gir $\underline{\underline{P_{100} = 24751}}$ .

Vi bruker teleskopsummering. Fra den rekursive sammenhengen får vi:

P_n = P_1 + \sum_{k=2}^{n} 5(k-1) = 1 + 5 \sum_{j=1}^{n-1} j = 1 + 5 \cdot \frac{(n-1)n}{2}

P_n = 1 + \frac{5n(n-1)}{2} = \frac{2 + 5n^2 - 5n}{2} = \frac{5n^2 - 5n + 2}{2}

Eksplisitt formel: $\underline{\underline{P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}}}$

Kontroll: $P_5 = \dfrac{5 \cdot 25 - 25 + 2}{2} = \dfrac{102}{2} = 51$ ✓

Induksjonsbevis

Vi skal bevise at $P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}$ for alle $n \geq 1$ .

Grunntrinn ( $n = 1$ ):

\frac{5 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 2}{2} = \frac{5 - 5 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 = P_1 \checkmark

Induksjonssteg: Anta at påstanden holder for $n = k$ , det vil si at

P_k = \frac{5k^2 - 5k + 2}{2}

Vi skal vise at den da også holder for $n = k+1$ , altså at $P_{k+1} = \dfrac{5(k+1)^2 - 5(k+1) + 2}{2}$ .

Fra den rekursive sammenhengen i a) har vi $P_{k+1} = P_k + 5k$ . Vi setter inn induksjonshypotesen:

P_{k+1} = \frac{5k^2 - 5k + 2}{2} + 5k = \frac{5k^2 - 5k + 2 + 10k}{2} = \frac{5k^2 + 5k + 2}{2}

Vi sjekker at dette stemmer overens med formelen for $n = k+1$ :

\frac{5(k+1)^2 - 5(k+1) + 2}{2} = \frac{5(k^2 + 2k + 1) - 5k - 5 + 2}{2} = \frac{5k^2 + 10k + 5 - 5k - 5 + 2}{2} = \frac{5k^2 + 5k + 2}{2}

De to uttrykkene er like, så induksjonssteget er vist. ∎

Ved induksjonsprinsippet gjelder dermed $P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}$ for alle $n \geq 1$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Det gis 1 poeng for rett rekursiv sammenheng og 1 poeng for en god begrunnelse.

2 poeng

Dersom kandidaten har en riktig strategi, men gjør tellefeil eller programmeringsfeil, kan det gis 1 poeng.

2 poeng

Det gis 1 poeng for rett formel for $P_n$ og 1 poeng for induksjonsbeviset.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: figurtall, rekursiv sammenheng, programmering, bevis
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter