Dette er en utforskende oppgave. Det finnes ikke ett riktig sett med spørsmål — poenget er å stille egne matematiske spørsmål, undersøke dem med eksempler og beregninger, og generalisere det du finner. Løsningsforslaget under er ett eksempel på en god besvarelse. Velger du andre spørsmål, andre eksempler eller en annen rekkefølge, kan det gi like god uttelling så lenge du viser utregning og begrunner konklusjonene dine.

Spørsmål jeg stiller

• Stemmer de tre påstandene om fem, seks og sju påfølgende heltall?
• Kan jeg vise dette generelt, ikke bare med noen få eksempler?
• Er det et mønster som avgjør om summen av $k$ påfølgende heltall er delelig med $k$?

Påstand 1: Summen av fem påfølgende heltall er alltid delelig med fem

Undersøkelse med eksempler:

• $1+2+3+4+5=15=5\cdot 3$ — delelig med $5$.
• $4+5+6+7+8=30=5\cdot 6$ — delelig med $5$.
• $10+11+12+13+14=60=5\cdot 12$ — delelig med $5$.

Alle eksemplene stemmer med påstanden. For å vise at det gjelder for alle fem påfølgende heltall, ikke bare disse tre eksemplene, generaliserer jeg med algebra.

Generalisering: Siden det er fem tall, har de et midttall. La midttallet være $n$. Da er de fem påfølgende heltallene $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$ og $n+2$.

Summen er alltid $5n$, og $5n$ er delelig med $5$ for ethvert heltall $n$, fordi $5n=5\cdot n$. Dermed er $\underline{\underline{\text{summen av fem påfølgende heltall alltid delelig med }5}}$. Påstand 1 stemmer, og er bevist for alle heltall — ikke bare kontrollert i noen eksempler.

Påstand 2: Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med seks

Undersøkelse med eksempler:

• $1+2+3+4+5+6=21$. $21:6=\mathrm{3,5}$ — ikke delelig, rest $3$.
• $2+3+4+5+6+7=27$. $27:6=\mathrm{4,5}$ — ikke delelig, rest $3$.
• $10+11+12+13+14+15=75$. $75:6=\mathrm{12,5}$ — ikke delelig, rest $3$.

I alle tre eksemplene er resten $3$. Det er et mønster jeg vil undersøke videre med algebra.

Generalisering: Seks tall har ikke noe midttall, så jeg lar $n$ være det minste heltallet. De seks påfølgende heltallene er da $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ og $n+5$.

Leddet $6n$ er alltid delelig med $6$, uansett hvilket heltall $n$ er. Da avgjør $15$ om hele summen er delelig med $6$. Siden $15=2\cdot 6+3$, er $15$ ikke delelig med $6$ — resten er $3$. Dermed er summen $6n+15$ aldri delelig med $6$; resten ved deling på $6$ er alltid $3$. $\underline{\underline{\text{Summen av seks påfølgende heltall er aldri delelig med }6}}$. Påstand 2 stemmer, og bevises av at $15$ ikke er delelig med $6$.

Påstand 3: Summen av sju påfølgende heltall er «noen ganger» delelig med sju

Undersøkelse med eksempler:

• $1+2+3+4+5+6+7=28=7\cdot 4$ — delelig med $7$.
• $2+3+4+5+6+7+8=35=7\cdot 5$ — delelig med $7$.
• $10+11+12+13+14+15+16=91=7\cdot 13$ — delelig med $7$.

I alle tre eksemplene er summen delelig med $7$. Det virker ikke som det bare skjer «noen ganger» — jeg undersøker dette videre med algebra, på samme måte som for påstand 1.

Generalisering: Sju er et oddetall, så tallene har et midttall $n$. De sju påfølgende heltallene er $n-3$, $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$.

Summen er alltid $7n$, som alltid er delelig med $7$. $\underline{\underline{\text{Summen av sju påfølgende heltall er alltid delelig med }7}}$ — ikke bare noen ganger.

Kritisk vurdering av påstandene

Beregningene mine viser at påstand 3 er upresist formulert. «Alltid» er strengt tatt et spesialtilfelle av «noen ganger» (skjer det alltid, skjer det jo også noen ganger), så påstanden er ikke direkte usann. Men den er misvisende: den får det til å høres ut som om summen bare av og til er delelig med $7$, mens beviset viser at det gjelder for alle valg av sju påfølgende heltall. En mer presis påstand ville vært: «Summen av sju påfølgende heltall er alltid delelig med sju.»

Generalisering til et vilkårlig antall påfølgende heltall

De tre påstandene gir et mønster: fem tall (oddetall) — alltid delelig, seks tall (partall) — aldri delelig, sju tall (oddetall) — alltid delelig. Det leder til en ny hypotese jeg vil undersøke:

Hypotese: Summen av $k$ påfølgende heltall er alltid delelig med $k$ når $k$ er et oddetall, og aldri delelig med $k$ når $k$ er et partall.

Begrunnelse for oddetall: Er $k$ et oddetall, finnes det alltid et midttall $n$, og de $k$ heltallene er symmetriske rundt $n$ (som i påstand 1 og 3, med henholdsvis $k=5$ og $k=7$). Da kansellerer alle avvikene fra $n$ parvis (for eksempel $-2$ og $+2$, eller $-3$ og $+3$), og summen blir $k\cdot n$, som alltid er delelig med $k$.

Begrunnelse for partall: Er $k$ et partall, finnes det ikke noe midttall. Lar jeg $n$ være det minste heltallet, blir summen (som i påstand 2, med $k=6$):

For $k=6$ ga dette resten $3$ ved deling på $6$, altså $\frac{k}{2}$. Jeg sjekker om dette mønsteret ($\text{rest}=\frac{k}{2}$) også stemmer for $k=4$: $1+2+3+4=10$, og $10:4=\mathrm{2,5}$ — rest $2$, som er $\frac{4}{2}=2$. Det stemmer. Restleddet blir altså aldri $0$ når $k$ er et partall, så summen er aldri delelig med $k$.

Konklusjon på hypotesen: $\underline{\underline{\text{Summen av }k\text{ påfølgende heltall er delelig med }k\text{ nøyaktig når }k\text{ er et oddetall}}}$. Dette forklarer alle de tre opprinnelige påstandene i ett generelt resultat.