Påstander om rasjonal funksjon

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{2x+6}{x^2+4}

Hvilke av påstandene nedenfor er riktige? Husk å begrunne svarene dine.

Påstand 1: Grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Påstand 2: Grafen til $f$ har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til $f$ skjærer aldri $y$ -aksen.

Påstand 4: Grafen til $f$ har horisontal asymptote $y = 2$ .

Fasit

Påstand 1 og 2 er riktige.

Løsningsforslag

Påstand 1 (riktig): Nullpunkt der $2x+6=0 \Rightarrow x=-3$ . Nevneren $x^2+4>0$ alltid, så $x=-3$ er gyldig og eneste nullpunkt.

Påstand 2 (riktig): Vertikale asymptoter der $x^2+4=0$ , men $x^2=-4$ har ingen reelle løsninger.

Påstand 3 (feil): $f(0) = 6/4 = 3/2$ , grafen skjærer $y$ -aksen.

Påstand 4 (feil): Telleren har lavere grad enn nevneren, så $f(x) \to 0$ . Horisontal asymptote er $y=0$ .

Sensorveiledning

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig argumentasjon knyttet til hver påstand.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: rasjonale funksjoner, asymptoter, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar