Vi skal avgjøre om $e^{k \cdot \ln(x)} = x^k$ for $x > 0$.

Vi bruker potensregelen for logaritmer: $k \cdot \ln(x) = \ln(x^k)$.

Dermed får vi:

Det siste steget bruker at $e^{\ln(u)} = u$ for alle $u > 0$. Siden $x > 0$ er også $x^k > 0$, så betingelsen er oppfylt.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{SANN}}}$.

For at $f$ skal være deriverbar i $x = 2$, må den først og fremst være kontinuerlig der. Vi sjekker om grenseverdiene fra venstre og høyre stemmer overens med funksjonsverdien.

Grenseverdi fra venstre ($x \to 2^-$, vi bruker forskriften $x^3 - 2$):

Funksjonsverdi og grenseverdi fra høyre ($x = 2$, vi bruker forskriften $3x^2 - 4$):

Siden $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 6 \ne 8 = f(2)$, er $f$ ikke kontinuerlig i $x = 2$.

En funksjon som ikke er kontinuerlig kan heller ikke være deriverbar.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{USANN}}}$.

Vi skal avgjøre om en funksjon som er minkende i deler av definisjonsmengden og voksende i andre deler, likevel kan ha en omvendt funksjon.

En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er én-til-én (injektiv): ulike $x$-verdier gir ulike funksjonsverdier.

Betrakt funksjonen

• For $x < 0$: $f(x) = -x > 0$, så verdimengden er $(0, \infty)$. Funksjonen er minkende på $(-\infty, 0)$.
• For $x > 0$: $f(x) = -\dfrac{1}{x} < 0$, så verdimengden er $(-\infty, 0)$. Funksjonen er voksende på $(0, \infty)$.

Verdimengdene for de to grenene er disjunkte ($(0,\infty)$ og $(-\infty,0)$), og hver gren er én-til-én på sitt intervall. Dermed er hele funksjonen én-til-én, og den har en omvendt funksjon — selv om den er minkende i én del og voksende i en annen.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{SANN}}}$.