Påstander om grenseverdi og deriverbarhet

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Påstand: Hvis $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} g(x)$ og $\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} g(x)$ , så er $f(x) = g(x)$ .

Påstand: Funksjonen $f(x) = |x|$ er deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ , bortsett fra i $x = 0$ .

Påstand: For likningen $a^x = a^y$ , der $a \in \mathbb{R}$ , er løsningen alltid $x = y$ .

Fasit

Usann

Sann

Usann

LøsningsforslagKI-generert

Påstanden er usann.

Vi trenger bare ett moteksempel. La

f(x) = \frac{1}{x^2}, \quad g(x) = 0

Da er

\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 = \lim_{x \to \infty} g(x)

\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 = \lim_{x \to -\infty} g(x)

Begge grenseverdiene er like, men $f(x) \neq g(x)$ siden $f(x) = \dfrac{1}{x^2} > 0$ for alle $x \neq 0$ , mens $g(x) = 0$ overalt.

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Usann}}}$ — like grenseverdier ved $\pm\infty$ garanterer ikke at funksjonene er identiske.

Påstanden er sann.

Vi undersøker om $f(x) = |x|$ er deriverbar for alle $x \neq 0$ .

For $x > 0$ : Her er $|x| = x$ , så $f'(x) = 1$ .

For $x < 0$ : Her er $|x| = -x$ , så $f'(x) = -1$ .

På begge grenene er $f$ deriverbar (konstant derivert). Påstanden sier ingenting om $x = 0$ , bare at $f$ er deriverbar for alle andre $x$ — det er korrekt.

(For fullstendighetens skyld: i $x = 0$ er venstresidig derivert $-1$ og høyresidig derivert $1$ , og siden disse ikke er like, er $f$ ikke deriverbar i $x = 0$ .)

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Sann}}}$ — $|x|$ er deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ bortsett fra i $x = 0$ .

Påstanden er usann.

Påstanden sier at $a^x = a^y$ alltid medfører $x = y$ . Dette er bare sant når $a > 0$ og $a \neq 1$ .

Moteksempel: La $a = 1$ , $x = 2$ , $y = 3$ .

Da er

1^2 = 1 = 1^3

så $a^x = a^y$ , men $x = 2 \neq 3 = y$ .

Likningen $1^x = 1^y$ er sann for alle $x$ og $y$ , og gir ingen informasjon om forholdet mellom $x$ og $y$ .

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Usann}}}$ — for $a = 1$ (og $a = 0$ , $a = -1$ med passende $x, y$ ) holder ikke implikasjonen $a^x = a^y \Rightarrow x = y$ .

Sensorveiledning

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: grenseverdi, derivasjon, eksponentialfunksjoner
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier
Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner