Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26

Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R}

Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote $x = d$ .

En funksjon $g$ er gitt ved

g(x) = e^{x-3} \qquad \text{der } x \in \mathbb{R}

Påstand: Den omvendte funksjonen til $g$ er gitt ved $g^{-1}(x) = \ln(x)+3$ der $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ .

Fasit

USANN – telleren kan ha $x = d$ som nullpunkt slik at brøken forkortes.

SANN – $g^{-1}(x) = \ln(x) + 3$ med $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ .

LøsningsforslagKI-generert

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ .

En vertikal asymptote ved $x = d$ oppstår bare hvis $x = d$ er et nullpunkt i nevneren som ikke kan forkortes med telleren. Hvis telleren $ax^2 + bx + c$ også har $x = d$ som nullpunkt, kan faktoren $(x - d)$ forkortes, og det oppstår ingen asymptote – kun et punkt der funksjonen er udefinert.

Moteksempel: La $a = 1$ , $b = -d$ , $c = 0$ (dvs. $b = -d$ og $c = 0$ ). Da er

f(x) = \frac{x^2 - dx}{x - d} = \frac{x(x-d)}{x-d} = x \qquad (x \neq d)

Denne funksjonen har ingen vertikal asymptote ved $x = d$ – bare en «hull»-punkt (fjernbar singularitet). Dermed gjelder ikke påstanden for alle funksjoner på den gitte formen.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{sann}}}$ .

Vi finner den omvendte funksjonen ved å løse $y = e^{x-3}$ for $x$ :

\begin{aligned} y &= e^{x-3} \\ \ln y &= x - 3 \\ x &= \ln y + 3 \end{aligned}

Bytter vi om $x$ og $y$ får vi

g^{-1}(x) = \ln(x) + 3

Definisjonsmengde: $D_{g^{-1}}$ er lik verdimengden til $g$ . Siden $g(x) = e^{x-3} > 0$ for alle $x \in \mathbb{R}$ , er verdimengden til $g$ alle positive reelle tall, det vil si $\langle 0, \to \rangle$ .

Dermed er $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ , og påstanden er sann.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: rasjonale funksjoner, omvendt funksjon, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier