Påstand om områder avgrenset av grafer

Avgjør om påstanden nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

To funksjoner er gitt ved $f(x)=x^{3}-x^{2}-ax$ , der $a \in \mathbb{R}$ , og $g(x)=-x^{2}+x$

Påstand: Grafene til $f$ og $g$ avgrenser to områder som er like store når $a>-1$ .

Fasit

Påstanden er sann

Løsningsforslag

$f$ og $g$ kommer til å avgrense maksimalt 2 områder siden $f$ er en tredjegradsfunksjon og $g$ er en andregradsfunksjon. For å finne disse to områdene må vi først finne skjæringspunktene mellom grafene.

Bestemmelse av skjæringspunktet mellom funksjoner i CAS

Jeg fant skjæringspunktene i GeoGebra. (Vi ser her at kravet om at $a>-1$ gjør at vi får reelle løsninger).

La oss undersøke arealet av områdene som er avgrenset. Jeg gjør dette i GeoGebra ved å integrere fra skjæringspunkt til skjæringspunkt ved hjelp av IntegralMellom.

Bestemmelse av arealet mellom grafene

Påstanden stemmer. Vi ser at arealene mellom grafene er like store.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer fram til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Funksjoner, Areal under graf, Integrasjon, Areal mellom grafer, Argumentasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Påstand om områder avgrenset av grafer

Sync på tvers av enheter

Påstand om områder avgrenset av grafer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave