Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren til høyre viser et utsnitt av Pascals talltrekant.

Utsnitt av Pascals talltrekant med ukjente x og y

Bestem $x$ og $y$ .

Nedenfor ser du utregningen ${(a + b)}^{n}$ for noen verdier av $n$ .

{(a + b)}^{0} = 1

{(a + b)}^{1} = 1 \cdot a + 1 \cdot b

{(a + b)}^{2} = 1 \cdot a^{2} + 2 \cdot a b + 1 \cdot b^{2}

{(a + b)}^{3} = 1 \cdot a^{3} + 3 \cdot a^{2} b + 3 \cdot a b^{2} + 1 \cdot b^{3}

{(a + b)}^{4} = 1 \cdot a^{4} + 4 \cdot a^{3} b + 6 \cdot a^{2} b^{2} + 4 \cdot a b^{3} + 1 \cdot b^{4}

Bruk mønsteret ovenfor til å regne ut ${(a + b)}^{5}$ .

Et forsøk er sammensatt av tre uavhengige delforsøk. I hvert delforsøk ser vi om et utfall $A$ inntreffer eller ikke. Sannsynlighetene er $P (A) = a$ og $P (\overline{A}) = b$ . Forsøket kan illustreres i et valgtre. Se figuren.

Valgtre for tre uavhengige delforsøk med utfall A og ikke-A

Vi lar $P (X = k)$ være sannsynligheten for at utfallet $A$ inntreffer $k$ ganger.

Skriv av og fyll ut sannsynlighetstabellen nedenfor.

$k$	3	2	1	0
$P (X = k)$	$a^{3}$

Fasit

$x = 7, y = 21$

${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

$P (X = 2) = 3 a^{2} b$ , $P (X = 1) = 3 a b^{2}$ , $P (X = 0) = b^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

I Pascals talltrekant er hvert tall lik summen av de to tallene som står rett over det. Ut fra figuren står $28$ rett under (mellom) $x$ og $y$ , og $8 x$ står rett under (mellom) $y$ og $35$ . Det gir likningene

x + y = 28 og y + 35 = 8 x

Fra den første likningen får vi $y = 28 - x$ . Setter vi dette inn i den andre likningen:

(28 - x) + 35 = 8 x

63 - x = 8 x

63 = 9 x

x = 7

Da er $y = 28 - 7 = 21$ .

x = 7, y = 21

(Dette stemmer med raden $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ i Pascals talltrekant.)

Mønsteret viser at koeffisientene i ${(a + b)}^{n}$ er tallene i rad $n$ i Pascals talltrekant, og at potensen av $a$ minker med $1$ for hvert ledd mens potensen av $b$ øker med $1$ . Rad $5$ i Pascals talltrekant er $1, 5, 10, 10, 5, 1$ , så

{(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}

Fra valgtreet ser vi at $X = k$ betyr at $A$ inntreffer $k$ ganger og $\overline{A}$ inntreffer $3 - k$ ganger i de tre delforsøkene. Antall grener (rekkefølger) med nøyaktig $k$ ganger $A$ er gitt av koeffisientene i rad $3$ i Pascals talltrekant: $1, 3, 3, 1$ .

$X = 2$ : grenene $a a b$ , $a b a$ , $b a a$ gir til sammen $3$ grener, hver med sannsynlighet $a^{2} b$ , så $P (X = 2) = 3 a^{2} b$ .
$X = 1$ : grenene $a b b$ , $b a b$ , $b b a$ gir til sammen $3$ grener, hver med sannsynlighet $a b^{2}$ , så $P (X = 1) = 3 a b^{2}$ .
$X = 0$ : grenen $b b b$ har sannsynlighet $b^{3}$ , så $P (X = 0) = b^{3}$ .

$k$	3	2	1	0
$P(X=k)$	$a^3$	$3a^2b$	$3ab^2$	$b^3$

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2014, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet

Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet

Lov på eksamen

Temaer