Partikkelbane med banefart 13 og samme posisjon to ganger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen $\vec{r}$ til en partikkel ved et tidspunkt $t$ er gitt ved

\vec{r} (t) = [- 12 t e^{- \frac{t}{2}}, t^{2} + k \cdot t]

der $- 1 \leq t \leq 6$ og $k \in ℝ$ .

For hånd

Bestem $k$ slik at banefarten til partikkelen er $13$ når $t = 0$ .

I resten av oppgaven lar vi $k = - 5$ .

Kalkulator

Tegn grafen til $\vec{r}$ .

Partikkelen er i samme posisjon ved to ulike tidspunkter.

Oppsett for hånd

Bestem disse to tidspunktene.

Fasit

$k = 5 eller k = - 5$

Se grafen i løsningsforslaget.

$t \approx 0,72 og t \approx 4,28$

LøsningsforslagKI-generert

Posisjonsvektoren er

\vec{r} (t) = [- 12 t \cdot e^{- \frac{t}{2}}, t^{2} + k t]

Vi deriverer hver komponent for seg. For $x$ -komponenten bruker vi produktregelen ( $u = - 12 t$ , $v = e^{- t / 2}$ ) og kjerneregelen på $v$ :

\begin{matrix} x (t) & = - 12 t \cdot e^{- \frac{t}{2}} \\ x^{'} (t) & = - 12 \cdot e^{- \frac{t}{2}} + (- 12 t) \cdot (- \frac{1}{2}) e^{- \frac{t}{2}} \\ = - 12 e^{- \frac{t}{2}} + 6 t \cdot e^{- \frac{t}{2}} \\ = 6 (t - 2) \cdot e^{- \frac{t}{2}} \end{matrix}

For $y$ -komponenten: $y (t) = t^{2} + k t \Rightarrow y^{'} (t) = 2 t + k$ . Farten (banefarten) til partikkelen er lengden av $\vec{r}^{'} (t)$ , og vi trenger denne ved $t = 0$ :

\vec{r}^{'} (0) = [6 (0 - 2) \cdot e^{0}, 2 \cdot 0 + k] = [- 12, k]

Banefarten skal være $13$ :

| \vec{r}^{'} (0) | = \sqrt{{(- 12)}^{2} + k^{2}} = \sqrt{144 + k^{2}} = 13

Vi kvadrerer på begge sider og løser for $k$ :

\begin{matrix} 144 + k^{2} & = 169 \\ k^{2} & = 25 \\ k & = 5 eller k = - 5 \end{matrix}

Begge verdiene er gyldige svar på a). $k = 5 eller k = - 5$

I resten av oppgaven er $k = - 5$ gitt.

Med $k = - 5$ blir posisjonsvektoren

\vec{r} (t) = [- 12 t \cdot e^{- \frac{t}{2}}, t^{2} - 5 t], - 1 \leq t \leq 6

Kurven tegnes med Curve(-12t·e^(-t/2), t²-5t, t, -1, 6) i GeoGebra:

Parameterkurven til r(t) for -1 ≤ t ≤ 6

Banen er en løkke: partikkelen starter i $(20, 6)$ ved $t = - 1$ , går ned mot origo, svinger ned og rundt i en løkke nederst til venstre (rundt $t = 1$ til $t = 4$ ), og ender opp igjen i $(- 3,6, 6)$ ved $t = 6$ . Legg merke til at kurven krysser seg selv — det er nettopp dette som undersøkes i c).

Partikkelen er i samme posisjon ved to ulike tidspunkter $t$ og $s$ (der $t \neq s$ ) dersom

\vec{r} (t) = \vec{r} (s)

Vi ser først på $y$ -komponenten:

\begin{matrix} t^{2} - 5 t & = s^{2} - 5 s \\ t^{2} - s^{2} - 5 t + 5 s & = 0 \\ (t - s) (t + s) - 5 (t - s) & = 0 \\ (t - s) (t + s - 5) & = 0 \end{matrix}

Siden $t \neq s$ , må $t - s \neq 0$ , og da må den andre faktoren være null:

t + s - 5 = 0 \Rightarrow s = 5 - t

Dette settes inn i $x$ -komponenten, $x (t) = x (s)$ :

- 12 t \cdot e^{- \frac{t}{2}} = - 12 (5 - t) \cdot e^{- \frac{5 - t}{2}}

Denne likningen kan ikke løses eksakt for hånd, så vi løser den numerisk i GeoGebra. Vi definerer $h (t) = - 12 t \cdot e^{- t / 2}$ og $k (t) = - 12 (5 - t) \cdot e^{- (5 - t) / 2}$ , ser på differansen $d (t) = h (t) - k (t)$ og finner nullpunktene:

Nullpunkter til d(t) = h(t) - k(t)

Nullpunktene til $d$ er $t = 0$ , $t \approx 0,724$ , $t = 2,5$ og $t \approx 4,276$ . Løsningen $t = 2,5$ gir $s = 5 - 2,5 = 2,5$ , altså $t = s$ — det er det trivielle tilfellet der partikkelen “møter seg selv” i samme øyeblikk, og gir ingen ny informasjon. Den egentlige løsningen er paret

t \approx 0,72 og s = 5 - 0,72 \approx 4,28

som stemmer med at $d (t)$ har et nullpunkt ved $t \approx 0,724$ og et ved $t \approx 4,276$ i grafen over. Vi kan kontrollere svaret ved å regne ut $\vec{r} (0,724) \approx \vec{r} (4,276) \approx (- 6,05, - 3,10)$ , som viser at partikkelen faktisk er i samme punkt ved de to tidspunktene.

Partikkelen er altså i samme posisjon ved $t \approx 0,72 og t \approx 4,28$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon

Partikkelbane med banefart 13 og samme posisjon to ganger

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Partikkelbane med banefart 13 og samme posisjon to ganger

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Partikkelbane med banefart 13 og samme posisjon to ganger

Partikkelbane med banefart 13 og samme posisjon to ganger

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer