Grafen til $\overrightarrow{r}(t)=[\ln t,t^2-4t]$, $t>0$, er tegnet med GeoGebra:

Skjæring med $y$-aksen ($x=0$):

For $t=1$ er $y=1^2-4\cdot 1=-3$. Grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0,-3)$.

Skjæring med $x$-aksen ($y=0$):

Siden $t>0$, forkastes $t=0$. For $t=4$ er $x=\ln 4$. Grafen skjærer $x$-aksen i punktet $(\ln 4,0)\approx (\mathrm{1,39},0)$.

Fartsvektoren finner vi ved å derivere hver komponent i $\overrightarrow{r}(t)$ med hensyn på $t$:

Dette er bekreftet med CAS i GeoGebra (se skjermbilde under, linje 2).

Topp- eller bunnpunkt på grafen til $\overrightarrow{r}$ oppstår der tangenten er horisontal, altså der $y$-komponenten av $\overrightarrow{v}(t)$ er null (og $x$-komponenten er forskjellig fra null, slik at det faktisk er et vendepunkt for kurven og ikke et stopp):

For $t=2$ er ${\displaystyle \frac{1}{t}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ne 0$, så dette gir et ekte topp- eller bunnpunkt. Vi setter $t=2$ inn i $\overrightarrow{r}(t)$:

Siden $y(t)=t^2-4t$ har et minimum ved $t=2$ (parabelen vender oppover) og $x(t)=\ln t$ er voksende, er punktet $(\ln 2,-4)\approx (\mathrm{0,69},-4)$ et bunnpunkt på kurven.

Fartsvektoren $\overrightarrow{v}(1)$:

Vektoren er tegnet inn med startpunkt $\overrightarrow{r}(1)=(0,-3)$ i grafen over (oransje pil).

Akselerasjonsvektoren finner vi ved å derivere $\overrightarrow{v}(t)$:

Dette stemmer med det som skulle vises, og er bekreftet med CAS (skjermbilde over, linje 3).

Grenseverdi når $t\to \infty$: Vi lar $t\to \infty$ i hver komponent:

Kommentar: Akselerasjonsvektoren nærmer seg en konstant, rent vertikal vektor $[\mathrm{0,2}]$ når $t$ blir stor. Det betyr at den horisontale akselerasjonskomponenten dør ut, mens den vertikale akselerasjonen holder seg konstant lik $2$ for alle $t$ (siden $y$-komponenten av $\overrightarrow{a}(t)$ ikke avhenger av $t$). Partikkelens bevegelse langs $x$-aksen flater altså ut og blir stadig mer jevn, mens bevegelsen langs $y$-aksen har konstant akselerasjon.