Parameterframstilling og møtepunkt

Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet $H(0, 300)$ og utsiktspunktet i $U(1200, 400)$ . Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linje. Ina går med konstant fart.

Forklar at parameterframstillingen

I: \begin{cases} x = 1200s &\\ y = 300 + 100s \end{cases} \quad s \in [0, 1]

gir den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.

Hele turen tar 20 minutter.

Bestem posisjonen til Ina etter 5 minutter.

Regn ut farten til Ina. Gi svaret i $\mathrm{m/s}$ .

Jonas er ute på tur i samme område som Ina. De to vennene møter hverandre.

Jonas sin posisjon $t$ minutter etter at han startet sin tur, er gitt ved

j: \begin{cases} x = 520 - 20t &\\ y = 310 + 5t \end{cases}

Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?

Fasit

$(300,\; 325)$

$\dfrac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}$

$35\sqrt{145} \approx 421{,}5 \, \mathrm{m}$

Løsningsforslag

Parameterframstillingen er

I: \begin{cases} x = 1200s \\ y = 300 + 100s \end{cases} \quad s \in [0, 1]

Vi sjekker endepunktene:

$s = 0$ : $(x, y) = (0, 300) = H$ ✓
$s = 1$ : $(x, y) = (1200, 400) = U$ ✓

Retningsvektoren er $(1200, 100) = \vec{HU}$ , og startpunktet er $H$ . Dermed er parameterfremstillingen den rette linjen fra $H$ til $U$ , og for $s \in [0, 1]$ dekker den nøyaktig linjestykket $HU$ .

Hele turen er 20 minutter, og etter 5 minutter er $s = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$ .

x = 1200 \cdot \frac{1}{4} = 300 \qquad y = 300 + 100 \cdot \frac{1}{4} = 325

Etter 5 minutter er Ina i posisjonen $\underline{\underline{(300,\; 325)}}$ .

Strekningslengden fra $H$ til $U$ er

|HU| = \sqrt{1200^2 + 100^2} = \sqrt{1\,440\,000 + 10\,000} = \sqrt{1\,450\,000} = 100\sqrt{145} \approx 1204 \, \mathrm{m}

Turen tar 20 min $= 20 \cdot 60 \, \mathrm{s} = 1200 \, \mathrm{s}$ .

v = \frac{100\sqrt{145}}{1200} = \frac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}

Farten til Ina er $\underline{\underline{\dfrac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Vi skriver Inas posisjon som funksjon av sin tid $t_I$ (minutter fra start):

I: \begin{cases} x = 60\, t_I \\ y = 300 + 5\, t_I \end{cases}

Vi setter Inas og Jonas sin posisjon lik hverandre:

\begin{cases} 60\, t_I = 520 - 20\, t_J \\ 300 + 5\, t_I = 310 + 5\, t_J \end{cases}

Fra andre ligning: $t_I - t_J = 2$ , dvs. $t_I = t_J + 2$ .

Setter inn i første ligning:

60(t_J + 2) = 520 - 20\, t_J \implies 80\, t_J = 400 \implies t_J = 5

Altså $t_I = 7$ (Ina har gått i 7 minutter).

Møtepunkt: $(60 \cdot 7,\; 300 + 5 \cdot 7) = (420, 335)$ .

Avstand Ina har gått:

\sqrt{(420 - 0)^2 + (335 - 300)^2} = \sqrt{420^2 + 35^2} = \sqrt{176\,400 + 1\,225} = \sqrt{177\,625} = 35\sqrt{145}

Alternativt: Ina har gått $\dfrac{7}{20}$ av turen, så $\dfrac{7}{20} \cdot 100\sqrt{145} = 35\sqrt{145}$ .

Ina har gått $\underline{\underline{35\sqrt{145} \approx 421{,}5 \, \mathrm{m}}}$ når hun møter Jonas.

Sensorveiledning

Kandidaten får uttelling selv om det ikke forklares at parameteren er mellom 0 og 1.

Kandidater som setter inn $s=5$ får ingen uttelling.

Kandidater som finner fartsvektoren, kan få 1 poeng.

Kandidater som finner Ina sin posisjon, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri, parameterframstilling, lineære likningssystem
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet