Posisjonsvektoren $\overrightarrow{r}(t)=[t^3-2t,t^2+1]$ tegnes som en parameterkurve i graftegner for $t\in [-2,2]$.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren:

For $t=-1$ gir dette

Banefarten er lengden av fartsvektoren:

Punktet på kurven ved $t=-1$ er $\overrightarrow{r}(-1)=[1,2]$. Fartsvektoren $\overrightarrow{v}(-1)$ er tegnet inn med utgangspunkt i dette punktet på grafen over.

Banefarten som funksjon av $t$ er $|\overrightarrow{v}(t)|=\sqrt{{(3t^2-2)}^2+{(2t)}^2}$. Vi bruker CAS til å løse likningen $|\overrightarrow{v}(t)|=2$, altså ${(3t^2-2)}^2+{(2t)}^2=4$, med $v_1(t)=3t^2-2$ og $v_2(t)=2t$:

CAS gir løsningene $t=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$, $t=0$ og $t={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$.

$\underline{\underline{t=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\approx -\mathrm{0,94},t=0,t={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{0,94}}}$

Akselerasjonsvektoren er den deriverte av fartsvektoren:

Banefarten $|\overrightarrow{v}(t)|$ har ekstremalverdi (topp- eller bunnpunkt) i de $t$-verdiene der den deriverte av $|\overrightarrow{v}(t)|$ er lik null. Siden $|\overrightarrow{v}(t)|=\sqrt{|\overrightarrow{v}(t){|}^2}$ og $|\overrightarrow{v}(t){|}^2>0$ (partikkelen er alltid i bevegelse siden $\overrightarrow{v}(t)\ne \overrightarrow{0}$ for alle $t$), er den deriverte av $|\overrightarrow{v}(t)|$ lik null nøyaktig når den deriverte av $|\overrightarrow{v}(t){|}^2$ er lik null.

Vi ser på $f(t)=|\overrightarrow{v}(t){|}^2=\overrightarrow{v}(t)\cdot \overrightarrow{v}(t)$. Ved å derivere produktet (skalarproduktregelen) får vi

Altså er $f^{\prime }(t)=0$ nøyaktig når $\overrightarrow{v}(t)\cdot \overrightarrow{a}(t)=0$, det vil si når fartsvektoren $\overrightarrow{v}(t)$ og akselerasjonsvektoren $\overrightarrow{a}(t)$ står normalt på hverandre (skalarproduktet er null).

Dette stemmer også ved direkte utregning for denne banen: $\overrightarrow{v}(t)\cdot \overrightarrow{a}(t)=(3t^2-2)\cdot 6t+2t\cdot 2=18t^3-8t$, mens $f(t)={(3t^2-2)}^2+{(2t)}^2=9t^4-8t^2+4$ gir $f^{\prime }(t)=36t^3-16t=2(18t^3-8t)=2\overrightarrow{v}(t)\cdot \overrightarrow{a}(t)$, som bekrefter sammenhengen.

Dermed har banefarten ekstremalverdi nøyaktig i de punktene der fartsvektoren står normalt på akselerasjonsvektoren. $■$