Parallellogram og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktet $A (3, 2)$ . Vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er gitt ved

\vec{u} = [4, 3] og \vec{v} = [2 t, 5 t]

Et parallellogram $A B C D$ er bestemt ved at $\vec{A B} = \vec{u}$ og $\vec{A D} = \vec{v}$ .

For hånd

Bestem koordinatene til $B$ og koordinatene til $C$ og $D$ uttrykt ved $t$ .

For hånd

Bestem $t$ slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet blir $P (8, 11)$ .

Fasit

$B = (7, 5)$ , $D = (3 + 2 t, 2 + 5 t)$ , $C = (7 + 2 t, 5 + 5 t)$

$t = 3$ , $D = (9, 17)$ , $C = (13, 20)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\vec{A B} = \vec{u} = [4, 3]$ og $\vec{A D} = \vec{v} = [2 t, 5 t]$ .

B = A + \vec{u} = (3 + 4, 2 + 3) = (𝟕, 𝟓)

D = A + \vec{v} = (3 + 2 t, 2 + 5 t)

Siden $A B C D$ er et parallellogram, gjelder $\vec{B C} = \vec{A D} = \vec{v}$ , altså

C = B + \vec{v} = (7 + 2 t, 5 + 5 t)

$B = (7, 5)$ , $D = (3 + 2 t, 2 + 5 t)$ , $C = (7 + 2 t, 5 + 5 t)$

Diagonalene i et parallellogram halverer hverandre, så skjæringspunktet mellom diagonalene er midtpunktet av $A C$ (og av $B D$ ).

Midtpunktet av $A C$ :

M = (\frac{3 + 7 + 2 t}{2}, \frac{2 + 5 + 5 t}{2}) = (\frac{10 + 2 t}{2}, \frac{7 + 5 t}{2}) = (5 + t, \frac{7 + 5 t}{2})

Vi setter $M = P (8, 11)$ og løser:

\begin{matrix} x -koordinat: & 5 + t = 8 \Rightarrow t = 3 \\ y -koordinat: & \frac{7 + 5 t}{2} = 11 \Rightarrow 7 + 5 t = 22 \Rightarrow t = 3 \end{matrix}

Begge ligningene gir $t = 3$ . Med $t = 3$ :

D = (3 + 6, 2 + 15) = (9, 17), C = (7 + 6, 5 + 15) = (13, 20)

Kontroll – midtpunkt av $A C$ : $(\frac{3 + 13}{2}, \frac{2 + 20}{2}) = (8, 11)$ ✓

$t = 3$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det kan gis 1 poeng for å bestemme $B$ og 1 poeng for å finne $C$ og $D$ .

Det gis 1 poeng for en fornuftig strategi og i tillegg 1 poeng for riktig svar.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2023, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Innstillinger