Parallellogram og vektorer

Vi har gitt punktet $A(3, 2)$ . Vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er gitt ved

\vec{u} = [4, 3] \quad \text{og} \quad \vec{v} = [2t, 5t]

Et parallellogram $ABCD$ er bestemt ved at $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ og $\overrightarrow{AD} = \vec{v}$ .

Bestem koordinatene til $B$ og koordinatene til $C$ og $D$ uttrykt ved $t$ .

Bestem $t$ slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet blir $P(8, 11)$ .

Fasit

$B = (7, 5)$ , $D = (3+2t,\; 2+5t)$ , $C = (7+2t,\; 5+5t)$

$t = 3$ , $D = (9, 17)$ , $C = (13, 20)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\overrightarrow{AB} = \vec{u} = [4, 3]$ og $\overrightarrow{AD} = \vec{v} = [2t, 5t]$ .

B = A + \vec{u} = (3 + 4,\; 2 + 3) = \mathbf{(7, 5)}

D = A + \vec{v} = (3 + 2t,\; 2 + 5t)

Siden $ABCD$ er et parallellogram, gjelder $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{v}$ , altså

C = B + \vec{v} = (7 + 2t,\; 5 + 5t)

$B = (7, 5)$ , $D = (3+2t,\; 2+5t)$ , $C = (7+2t,\; 5+5t)$

Diagonalene i et parallellogram halverer hverandre, så skjæringspunktet mellom diagonalene er midtpunktet av $AC$ (og av $BD$ ).

Midtpunktet av $AC$ :

M = \left(\frac{3 + 7 + 2t}{2},\; \frac{2 + 5 + 5t}{2}\right) = \left(\frac{10 + 2t}{2},\; \frac{7 + 5t}{2}\right) = (5 + t,\; \tfrac{7+5t}{2})

Vi setter $M = P(8, 11)$ og løser:

\begin{aligned} x\text{-koordinat:} \quad & 5 + t = 8 \quad \Rightarrow \quad t = 3 \\[4pt] y\text{-koordinat:} \quad & \frac{7 + 5t}{2} = 11 \quad \Rightarrow \quad 7 + 5t = 22 \quad \Rightarrow \quad t = 3 \end{aligned}

Begge ligningene gir $t = 3$ . Med $t = 3$ :

D = (3 + 6,\; 2 + 15) = (9, 17), \qquad C = (7 + 6,\; 5 + 15) = (13, 20)

Kontroll – midtpunkt av $AC$ : $\left(\dfrac{3+13}{2},\; \dfrac{2+20}{2}\right) = (8, 11)$ ✓

$t = \underline{\underline{3}}$

Oppgavedata

Temaer: vektorer, geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet