Parallelle plan og kule

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Planet $α$ er bestemt av punktene $A (1,0,3)$ , $B (0,1,2)$ og $C (2,3,2)$ .

For hånd

Bestem en likning for planet $β$ som er parallelt med $α$ og går gjennom punktet $P (2, - 5,5)$ .

En kule tangerer $α$ i punktet $A$ og $β$ i et punkt $Q$ .

For hånd

Bestem eksakte verdier for koordinatene til $Q$ .

Fasit

$β : x - y - 2 z + 3 = 0$

$Q = (\frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{7}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bestemmer først en likning for planet $α$ ved å finne normalvektoren.

Normalvektor til $α$

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ og kryssprodukt:

A := (1, 0, 3)
B := (0, 1, 2)
C := (2, 3, 2)
AB := B - A          → AB := (-1, 1, -1)
AC := C - A          → AC := (1, 3, -1)
n := AB ⊗ AC         → n := (2, -2, -4)

GeoGebra CAS – kryssprodukt, beta og Q

Normalvektoren er $\vec{n} = (2, - 2, - 4)$ , som vi forenkler til $\vec{n} = (1, - 1, - 2)$ .

Likning for $α$

Planet $α$ har likning $x - y - 2 z + d = 0$ . Vi setter inn $A (1, 0, 3)$ :

1 - 0 - 2 \cdot 3 + d = 0 ⟹ d = 5

α : x - y - 2 z + 5 = 0

Planet $β$ er parallelt med $α$ , så det har samme normalvektor og likning på formen $x - y - 2 z + d = 0$ .

Vi setter inn $P (2, - 5, 5)$ i GeoGebra CAS:

beta_d := Løs(2 - (-5) - 2*5 + d = 0, d)    → {d = 3}

𝛃 : x - y - 2 z + 3 = 0

Kulen tangerer $α$ i $A$ og $β$ i $Q$ . Siden begge plan er parallelle og kulen tangerer begge, ligger sentrum midt mellom tangentpunktene på linjen gjennom $A$ med retning $\vec{n} = (1, - 1, - 2)$ .

Linjen gjennom $A$ med retning $\vec{n}$ :

ℓ : (x, y, z) = (1, 0, 3) + t (1, - 1, - 2) = (1 + t, - t, 3 - 2 t)

Finn $Q$ på $β$ :

Vi setter linjeuttrykkene inn i likningen for $β$ i GeoGebra CAS:

Q_t := Løs((1 + t) - (-t) - 2*(3 - 2*t) + 3 = 0, t)    → {t = 1/3}
Q := (1 + 1/3, -1/3, 3 - 2/3)                           → Q := (4/3, -1/3, 7/3)

Q = (\frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{7}{3})

Vi kan verifisere at $Q$ ligger på $β$ : $\frac{4}{3} - (- \frac{1}{3}) - 2 \cdot \frac{7}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} - \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3} = 0$ . ✓

Q = (\frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{7}{3})

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Oppgaven kan løses ved å bruke kryssprodukt eller ved å bruke et digitalt verktøy som GeoGebra 3D. Begge metoder kan gis full uttelling.

For å få full uttelling, må kandidaten regne ut koordinatene eksakt. Løsning med numerisk verdi beregnet, for eksempel ved å tegne opp i GeoGebra 3D, kan gi inntil 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Parallelle plan og kule

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Parallelle plan og kule

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Parallelle plan og kule

Parallelle plan og kule

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer