Parallelle plan og kule

Planet $\alpha$ er bestemt av punktene $A(1,0,3)$ , $B(0,1,2)$ og $C(2,3,2)$ .

Bestem en likning for planet $\beta$ som er parallelt med $\alpha$ og går gjennom punktet $P(2,-5,5)$ .

En kule tangerer $\alpha$ i punktet $A$ og $\beta$ i et punkt $Q$ .

Bestem eksakte verdier for koordinatene til $Q$ .

Fasit

$\underline{\underline{\beta\colon x - y - 2z + 3 = 0}}$

$\underline{\underline{Q = \left(\dfrac{4}{3},\, -\dfrac{1}{3},\, \dfrac{7}{3}\right)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bestemmer først en likning for planet $\alpha$ ved å finne normalvektoren.

Normalvektor til $\alpha$

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ og kryssprodukt:

A := (1, 0, 3)
B := (0, 1, 2)
C := (2, 3, 2)
AB := B - A          → AB := (-1, 1, -1)
AC := C - A          → AC := (1, 3, -1)
n := AB ⊗ AC         → n := (2, -2, -4)

GeoGebra CAS – kryssprodukt, beta og Q

Normalvektoren er $\vec{n} = (2, -2, -4)$ , som vi forenkler til $\vec{n} = (1, -1, -2)$ .

Likning for $\alpha$

Planet $\alpha$ har likning $x - y - 2z + d = 0$ . Vi setter inn $A(1, 0, 3)$ :

1 - 0 - 2 \cdot 3 + d = 0 \implies d = 5

\alpha\colon x - y - 2z + 5 = 0

Planet $\beta$ er parallelt med $\alpha$ , så det har samme normalvektor og likning på formen $x - y - 2z + d = 0$ .

Vi setter inn $P(2, -5, 5)$ i GeoGebra CAS:

beta_d := Løs(2 - (-5) - 2*5 + d = 0, d)    → {d = 3}

\textbf{$\beta\colon$} \quad \underline{\underline{x - y - 2z + 3 = 0}}

Kulen tangerer $\alpha$ i $A$ og $\beta$ i $Q$ . Siden begge plan er parallelle og kulen tangerer begge, ligger sentrum midt mellom tangentpunktene på linjen gjennom $A$ med retning $\vec{n} = (1, -1, -2)$ .

Linjen gjennom $A$ med retning $\vec{n}$ :

\ell\colon \quad (x, y, z) = (1, 0, 3) + t(1, -1, -2) = (1+t,\; -t,\; 3-2t)

Finn $Q$ på $\beta$ :

Vi setter linjeuttrykkene inn i likningen for $\beta$ i GeoGebra CAS:

Q_t := Løs((1 + t) - (-t) - 2*(3 - 2*t) + 3 = 0, t)    → {t = 1/3}
Q := (1 + 1/3, -1/3, 3 - 2/3)                           → Q := (4/3, -1/3, 7/3)

Q = \left(\frac{4}{3},\; -\frac{1}{3},\; \frac{7}{3}\right)

Vi kan verifisere at $Q$ ligger på $\beta$ : $\frac{4}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) - 2 \cdot \frac{7}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} - \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3} = 0$ . ✓

\underline{\underline{Q = \left(\frac{4}{3},\; -\frac{1}{3},\; \frac{7}{3}\right)}}

Oppgavedata

Temaer: vektorer, geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet