Parabol med brennpunkt og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1 viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{1}{4 p} x^{2}

der $p > 0$ er et reelt tall. Vi kaller grafen til en slik funksjon for en parabel. Punktet $P (0, p)$ kaller vi for parabelens brennpunkt.

La $Q (q, f (q))$ være et generelt punkt på parabelen, og la $ℓ$ være linjen som går gjennom $P$ og $Q$ . Linjen $ℓ$ skjærer også parabelen i punktet $R$ . Se figur 2.

Parabel med brennpunkt P, punkt Q, skjæringspunkt R og linje ell — Figur 1, 2 og 3

For hånd

Bruk CAS til å vise at $x$ -koordinaten til punktet $R$ er $- \frac{4 p^{2}}{q}$ .

For hånd

Bruk CAS til å vise at tangentene til grafen til $f$ i punktene $Q$ og $R$ står normalt på hverandre. Se figur 3.

Fasit

$x_{R} = - \frac{4 p^{2}}{q}$

Produktet av stigningstallene til tangentene er $- 1$ , så tangentene står normalt på hverandre.

LøsningsforslagKI-generert

Parabelen er gitt ved $f (x) = \frac{x^{2}}{4 p}$ , og $Q (q, f (q))$ er et punkt på parabelen. Linjen $ℓ$ gjennom brennpunktet $P (0, p)$ og $Q$ har stigningstall

m = \frac{f (q) - p}{q}

Skjæringspunktene mellom $ℓ$ og parabelen finner vi ved å løse likningen $f (x) = p + m \cdot x$ med CAS:

CAS-utregning som viser at skjæringspunktene er x=q og x=-4p²/q, og at produktet av tangentenes stigningstall er -1

CAS gir (linje 3) løsningsmengden ${x = q, x = - 4 p^{2} / q}$ . Løsningen $x = q$ svarer til punktet $Q$ , og den andre løsningen må derfor være $x$ -koordinaten til $R$ :

x_{R} = - \frac{4 p^{2}}{q}

Kontroll (Vietas formler): Likningen $f (x) = p + m x$ kan skrives $x^{2} - 4 p m x - 4 p^{2} = 0$ . Produktet av røttene er $- 4 p^{2}$ , og siden én rot er $x = q$ , må $q \cdot x_{R} = - 4 p^{2}$ , altså $x_{R} = - \frac{4 p^{2}}{q}$ — i samsvar med CAS.

Den deriverte av $f$ er $f^{'} (x) = \frac{x}{2 p}$ (linje 5 i CAS-utklippet).

Stigningstallet til tangenten i $Q$ er

f^{'} (q) = \frac{q}{2 p} (linje 6)

og stigningstallet til tangenten i $R$ er

f^{'} (x_{R}) = f^{'} (- \frac{4 p^{2}}{q}) = - \frac{2 p}{q} (linje 7)

Produktet av de to stigningstallene er (linje 8)

f^{'} (q) \cdot f^{'} (x_{R}) = \frac{q}{2 p} \cdot (- \frac{2 p}{q}) = - 1

Siden produktet av stigningstallene til de to tangentene er $- 1$ , står tangentene normalt på hverandre — uansett hvilke verdier $p > 0$ og $q$ har.

Figuren under illustrerer resultatet med $p = 2$ og $q = 3$ , som gir $Q (3, 1,125)$ og $R (- 5,33, 3,56)$ . Tangenten i $Q$ er tegnet i grønt og tangenten i $R$ i rødt, og linjen $ℓ$ gjennom $P$ , $Q$ og $R$ er tegnet i grått.

Parabel med punktene P, Q og R, linjen ell gjennom dem, og tangentene i Q og R

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2019, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: CAS, Derivasjon, Andregradsfunksjon, Tangent

Parabol med brennpunkt og tangent

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Parabol med brennpunkt og tangent

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Parabol med brennpunkt og tangent

Parabol med brennpunkt og tangent

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer