Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har to fabrikker, A og B, som produserer papir. Tabellen nedenfor viser hvor mange ruller av de ulike papirtypene hver av de to fabrikkene produserer hver dag.

	Bokpapir	Avispapir	Magasinpapir
Fabrikk A	$400$	$180$	$240$
Fabrikk B	$260$	$200$	$384$

Bedriften mottar en bestilling på

$40 000$ ruller med bokpapir
$24 000$ ruller med avispapir
$38 400$ ruller med magasinpapir

De planlegger å bruke begge fabrikkene til å produsere papir til denne bestillingen. La $x$ være antall dager fabrikk A produserer til denne bestillingen, og $y$ antall dager fabrikk B produserer til bestillingen.

For hånd

Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene

\begin{matrix} x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \\ x + 0,65 y & \geq 100 \\ 0,9 x + y & \geq 120 \\ x + 1,6 y & \geq 160 \end{matrix}

De daglige kostnadene når fabrikkene produserer for fullt, er $40 000$ kroner for fabrikk A og $30 000$ kroner for fabrikk B. Et uttrykk for bedriftens daglige kostnader knyttet til produksjonen er da gitt ved

K = 40 000 x + 30 000 y

Kalkulator

Hva er den laveste mulige produksjonskostnaden for denne bestillingen?

Ledelsen i fabrikk B ønsker at hele produksjonen til denne bestillingen skal gjøres hos dem. De vet at de da må redusere de daglige kostnadene.

Kalkulator

Hvor mye må fabrikk B redusere de daglige kostnadene dersom det skal lønne seg at de produserer hele bestillingen?

Fasit

Se løsningsforslag.

$K_{\min} \approx 4 289 157 kr$ , ved $x \approx 53$ dager i fabrikk A og $y \approx 72$ dager i fabrikk B.

$minst ca. 2 120 kr$ per dag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi viser at hver ulikhet følger av at produksjonen i fabrikk A og fabrikk B til sammen må dekke bestillingen.

Bokpapir. Fabrikk A produserer $400$ ruller bokpapir per dag, fabrikk B produserer $260$ ruller bokpapir per dag. Produseres det i $x$ dager i A og $y$ dager i B, blir den samlede produksjonen $400 x + 260 y$ ruller. Denne skal være minst $40 000$ ruller:

400 x + 260 y \geq 40 000

Vi deler begge sider på $400$ :

x + 0,65 y \geq 100

Avispapir. På samme måte gir kravet om minst $24 000$ ruller avispapir

180 x + 200 y \geq 24 000

Deler vi på $200$ , får vi

0,9 x + y \geq 120

Magasinpapir. Kravet om minst $38 400$ ruller magasinpapir gir

240 x + 384 y \geq 38 400

Deler vi på $240$ , får vi

x + 1,6 y \geq 160

Til slutt kan ikke antall produksjonsdager være negativt, så $x \geq 0$ og $y \geq 0$ . Dette er nettopp de fem ulikhetene i oppgaven.

Vi skal finne den minste verdien av $K = 40 000 x + 30 000 y$ blant alle $(x, y)$ som oppfyller ulikhetene fra a). Siden alle ulikhetene er « $\geq$ », ligger det tillatte området over alle de tre skrå linjene, og området er ubegrenset oppover. Fordi koeffisientene til $K$ er positive, må minimumsverdien derfor ligge i et av hjørnene på den nedre randen av området.

Vi tegner grenselinjene i GeoGebra:

\begin{matrix} l_{1} : & x + 0,65 y = 100 \\ l_{2} : & 0,9 x + y = 120 \\ l_{3} : & x + 1,6 y = 160 \end{matrix}

Grenselinjene for de tre ulikhetene, med skjæringspunktene markert

Legg merke til at skjæringspunktet mellom $l_{1}$ (blå) og $l_{3}$ (grønn) ligger i $(58,95; 63,16)$ , men dette punktet oppfyller ikke $0,9 x + y \geq 120$ (vi får $0,9 \cdot 58,95 + 63,16 \approx 116,2 < 120$ ). Punktet ligger dermed utenfor det tillatte området og er ikke et hjørne der.

De fire hjørnene på randen av det tillatte området er $(0; 153,85)$ , $(53,01; 72,29)$ , $(72,73; 54,55)$ og $(160; 0)$ . Vi setter dem inn i $K = 40 000 x + 30 000 y$ :

Hjørne	$K$
$(0; 153,85)$	$4 615 385$
$(53,01; 72,29)$	$𝟒 𝟐𝟖𝟗 𝟏𝟓𝟕$
$(72,73; 54,55)$	$4 545 455$
$(160; 0)$	$6 400 000$

Den laveste kostnaden finner vi i hjørnet $(53,01; 72,29)$ , som er skjæringspunktet mellom $l_{1}$ og $l_{2}$ .

Den laveste mulige produksjonskostnaden er $K_{\min} \approx 4 289 157 kr$ , når fabrikk A produserer i ca. $53$ dager og fabrikk B i ca. $72$ dager.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi tegner grenselinjene for hånd på ruteark ved å finne skjæringspunktene med aksene:

\begin{matrix} l_{1} : x + 0,65 y = 100 & skjærer aksene i (100; 0) og (0; 153,85) \\ l_{2} : 0,9 x + y = 120 & skjærer aksene i (133,3; 0) og (0; 120) \\ l_{3} : x + 1,6 y = 160 & skjærer aksene i (160; 0) og (0; 100) \end{matrix}

Det tillatte området er der alle tre ulikhetene er oppfylt samtidig, altså over alle tre linjene. Hjørnene på den nedre randen finner vi ved å løse likningssystemer for to og to linjer om gangen.

Skjæring mellom $l_{1}$ og $l_{2}$ : Fra $l_{1}$ har vi $x = 100 - 0,65 y$ . Setter vi dette inn i $l_{2}$ :

\begin{matrix} 0,9 (100 - 0,65 y) + y & = 120 \\ 90 - 0,585 y + y & = 120 \\ 0,415 y & = 30 \\ y & \approx 72,29 \end{matrix}

og $x = 100 - 0,65 \cdot 72,29 \approx 53,01$ .

Skjæringen mellom $l_{2}$ og $l_{3}$ løses på samme måte og gir $(72,73; 54,55)$ . Skjæringen mellom $l_{1}$ og $l_{3}$ , $(58,95; 63,16)$ , oppfyller ikke $0,9 x + y \geq 120$ og er derfor ikke et hjørne i det tillatte området — det må vi sjekke for hvert kandidatpunkt.

Vi setter de fire gjenværende hjørnepunktene inn i $K = 40 000 x + 30 000 y$ på kalkulatoren:

Hjørne	$K$
$(0; 153,85)$	$4 615 385$
$(53,01; 72,29)$	$4 289 157$
$(72,73; 54,55)$	$4 545 455$
$(160; 0)$	$6 400 000$

Laveste kostnad er $K \approx 4 289 157$ kr, i punktet $(53,01; 72,29)$ — samme svar som over.

Skal fabrikk B produsere hele bestillingen alene, må $x = 0$ . Vi setter $x = 0$ inn i de tre ulikhetene fra a):

\begin{matrix} 0,65 y & \geq 100 & \Rightarrow y & \geq 153,85 \\ y & \geq 120 \\ 1,6 y & \geq 160 & \Rightarrow y & \geq 100 \end{matrix}

Det strengeste kravet er $y \geq 153,85$ (fra bokpapirulikheten), så fabrikk B trenger minst ca. $153,85$ dager for å klare hele bestillingen alene.

For at det skal lønne seg at fabrikk B tar hele produksjonen, kan den nye totalkostnaden $p \cdot y$ (der $p$ er den reduserte dagskostnaden) høyst være like stor som minimumskostnaden fra b):

p \cdot 153,85 \leq 4 289 157

p \leq \frac{4 289 157}{153,85} \approx 27 880

Reduksjonen i dagskostnad blir da

30 000 - 27 880 = 2 120

Fabrikk B må altså redusere de daglige kostnadene med $minst ca. 2 120 kr$ , det vil si fra $30 000$ kr til ca. $27 880$ kr per dag, for at det skal lønne seg at fabrikk B tar hele produksjonen alene.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2022, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Økonomi

Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer