Pakke med pakkebånd og størst mulig volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal lage en pakke med form som et rett prisme. Pakken har bredde lik $y$ cm, lengde lik $x$ cm og høyde lik $x$ cm. Vi vil sikre pakken med svart pakkebånd. Se figuren nedenfor.

Rektangulær pakke med pakkebånd og mål x og y

Vi ser at lengden av pakkebåndet er $8 x + 4 y$ . Vi vil lage pakken slik at den har størst mulig volum når vi bruker akkurat 900 cm med pakkebånd.

For hånd

Vis at volumet $V (x)$ av pakken kan skrives som

V (x) = - 2 x^{3} + 225 x^{2}

Kalkulator

Bestem $x$ og $y$ slik at volumet av pakken blir størst mulig. Kommenter svaret ditt. Bestem det største volumet, målt i kubikkdesimeter.

Fasit

Se løsningsforslag.

$x = y = 75 cm, V_{maks} = 421,875 {dm}^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Pakkebåndet har lengde $8 x + 4 y = 900$ . Vi løser med hensyn på $y$ :

4 y = 900 - 8 x \Rightarrow y = 225 - 2 x

Volumet av det rette prismet (lengde $x$ , bredde $y$ , høyde $x$ ) er

V = x \cdot y \cdot x = x^{2} \cdot y

Setter vi inn uttrykket for $y$ , får vi

V (x) = x^{2} (225 - 2 x) = 225 x^{2} - 2 x^{3} = - 2 x^{3} + 225 x^{2}

som var det vi skulle vise.

Vi finner ekstremalpunktene til $V (x) = - 2 x^{3} + 225 x^{2}$ ved å derivere og sette den deriverte lik null:

V^{'} (x) = - 6 x^{2} + 450 x = - 6 x (x - 75)

V^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 0 \lor x = 75

Se utregningen i GeoGebra CAS:

Løsning i CAS

Siden $y = 225 - 2 x$ må være positiv, må $x < 112,5$ , så $x = 75$ ligger i det gyldige området. $V^{'} (x)$ er positiv for $0 < x < 75$ og negativ for $x > 75$ , så $x = 75$ gir et maksimum ( $x = 0$ gir $V = 0$ og er ikke et aktuelt maksimum).

Vi finner $y$ når $x = 75$ :

y = 225 - 2 \cdot 75 = 75

Dette betyr at pakken blir en terning med sidekant $75 cm$ .

Det største volumet er

V (75) = - 2 \cdot 75^{3} + 225 \cdot 75^{2} = 421 875 {cm}^{3} = 421,875 {dm}^{3}

Svar: Volumet blir størst når $x = y = 75 cm$ (pakken blir en terning), og det største volumet er $V_{maks} = 421,875 {dm}^{3}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2014, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon

Pakke med pakkebånd og størst mulig volum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pakke med pakkebånd og størst mulig volum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pakke med pakkebånd og størst mulig volum

Pakke med pakkebånd og størst mulig volum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer