Pælemaskin og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et firma skal sette opp en stolpe. Det gjør de ved å slå stolpen ned i jorda med en pælemaskin.

Det første slaget slår stolpen $12 c m$ ned i jorda. De neste slagene fører stolpen videre nedover, men stadig kortere for hver gang. Det viser seg at lengden som stolpen blir slått ned i jorda, blir redusert med $6,0 %$ for hvert slag.

Kalkulator

Hvor mange slag må de minst slå for å få stolpen mer enn $1,0$ meter ned i jorda?

Kalkulator

Kan firmaet klare å slå stolpen så mye som $2,2$ meter ned i jorda med denne pælemaskinen?

Fasit

$Minst 12 slag$

$Nei, firmaet klarer aldri 2,2 m$

LøsningsforslagKI-generert

Lengden stolpen slås ned i, danner en geometrisk rekke med $a_{1} = 12 cm$ og $k = 1 - 0,060 = 0,94$ , siden hvert slag gir $6,0 %$ kortere synk enn slaget før.

Summen av de $n$ første slagene er

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 12 \cdot \frac{{0,94}^{n} - 1}{0,94 - 1} = \frac{12}{0,06} (1 - {0,94}^{n}) = 200 (1 - {0,94}^{n})

Stolpen skal mer enn $1,0 m = 100 cm$ ned i jorda, altså skal vi finne minste $n$ slik at $s_{n} > 100$ .

200 (1 - {0,94}^{n}) > 100

1 - {0,94}^{n} > 0,5

{0,94}^{n} < 0,5

Vi tar logaritmen på begge sider. Siden $\ln (0,94) < 0$ snur ulikhetstegnet:

n > \frac{\ln (0,5)}{\ln (0,94)}

I GeoGebra CAS regnes dette ut til $n > 11,20$ , se n_verdi i utklippet under.

GeoGebra CAS

Siden $n$ må være et helt tall, må firmaet slå minst $n = 12$ slag for å komme mer enn $1,0$ meter ned i jorda.

Vi undersøker hvor langt ned stolpen i teorien kan komme dersom firmaet slår uendelig mange slag. Dette er summen av en uendelig geometrisk rekke, som konvergerer siden $| k | = 0,94 < 1$ :

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{12}{1 - 0,94} = \frac{12}{0,06} = 200 cm = 2,0 m

Dette stemmer med SumUendelig i CAS-utklippet over.

Selv med uendelig mange slag kan stolpen altså i beste fall komme $2,0$ meter ned i jorda. Siden $2,0 m < 2,2 m$ , vil firmaet aldri klare å slå stolpen $2,2$ meter ned med denne pælemaskinen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2017, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Modellering, Uendelig rekke

Pælemaskin og geometrisk rekke

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pælemaskin og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pælemaskin og geometrisk rekke

Pælemaskin og geometrisk rekke

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer