Overskuddsfunksjon med andregradsledd – optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Valgoppgave – Alternativ I I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Hvis en bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag, er overskuddet $O (x)$ per dag i kroner gitt ved

O (x) = - 10 x^{2} + 1100 x - 10000

Krever PC

Tegn grafen til $O$ . Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Krever PC

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for å ikke gå med underskudd?

Bedriften får en ekstra kostnad på 100 kroner per produserte enhet.

Krever PC

Hvor mange enheter må bedriften nå produsere og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

$x = 55 enheter, O (55) = 20 250 kr$

$10 \leq x \leq 100 enheter$

$x = 50 enheter$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $O (x) = - 10 x^{2} + 1100 x - 10 000$ i GeoGebra, sammen med den justerte funksjonen fra c). Toppunktene og nullpunktene til $O$ er markert på figuren.

Overskuddsfunksjon med toppunkt og nullpunkter

Grafen til $O$ er en parabel som vender nedover (fordi koeffisienten foran $x^{2}$ er negativ). Toppunktet på grafen viser derfor det største overskuddet.

Fra grafen leser vi av at toppunktet er

(55, 20 250)

Bedriften må altså produsere og selge 55 enheter per dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Det maksimale overskuddet er da $20 250 kr$ per dag.

Svar: Bedriften bør produsere og selge $55 enheter$ per dag. Da blir overskuddet $20 250 kr$ , som er det høyest mulige.

Bedriften går ikke med underskudd så lenge $O (x) \geq 0$ , altså mellom nullpunktene til grafen (der grafen ligger på eller over $x$ -aksen).

Fra grafen leser vi av at nullpunktene er

x = 10 og x = 100

Mellom disse verdiene er grafen over $x$ -aksen, altså er overskuddet positivt eller null.

Svar: Bedriften må produsere og selge mellom $10 og 100 enheter$ per dag for å ikke gå med underskudd.

Når bedriften får en ekstra kostnad på $100 kr$ per produserte enhet, reduseres overskuddet med $100 x$ kroner. Den nye overskuddsfunksjonen blir

O_{2} (x) = O (x) - 100 x = - 10 x^{2} + 1100 x - 10 000 - 100 x = - 10 x^{2} + 1000 x - 10 000

Toppunktet til $O_{2}$ finner vi med formelen $x = - \frac{b}{2 a}$ , med $a = - 10$ og $b = 1000$ :

x = - \frac{1000}{2 \cdot (- 10)} = 50

Overskuddet ved $x = 50$ blir

O_{2} (50) = - 10 \cdot 50^{2} + 1000 \cdot 50 - 10 000 = - 25 000 + 50 000 - 10 000 = 15 000

Dette stemmer med toppunktet $(50, 15 000)$ på grafen (rød kurve).

Svar: Etter kostnadsøkningen må bedriften produsere og selge $50 enheter$ per dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Det maksimale overskuddet er da $15 000 kr$ per dag – altså $5 250 kr$ lavere enn før kostnadsøkningen.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2010, del 2, oppgave 8-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Andregradslikninger, Optimering, Økonomi

Overskuddsfunksjon med andregradsledd – optimering

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Overskuddsfunksjon med andregradsledd – optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Overskuddsfunksjon med andregradsledd – optimering

Overskuddsfunksjon med andregradsledd – optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer