Ørretbestand og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestanden av ørret i et bestemt fiskevann avtar med $3,0 %$ per år. Vi går ut fra at det er $10 000$ ørreter i vannet ved starten av 2018.

For hånd

Forklar at differensiallikningen gitt ved

y^{'} = - 0,03 y, y (0) = 10 000

kan brukes til å bestemme ørretbestanden $y (t)$ i vannet $t$ år etter starten av 2018.

Kalkulator

Løs differensiallikningen. Hvor mange ørreter vil det være i vannet i 2028?

Den lokale fiskeforeningen ønsker å sette ut et fast antall ørreter i vannet hvert år i ti år framover. Utsettingen starter tidlig i 2018 og skjer kontinuerlig over tiårsperioden. Målet er at det ved starten av 2027 skal være $15 000$ ørreter i vannet.

For hånd

Sett opp og grunngi en differensiallikning som kan brukes til å bestemme hvor mange ørreter de må sette ut hvert år for å nå målet.

Kalkulator

Hvor mange ørreter må de sette ut hvert år for å nå målet?

Fasit

Se forklaring i løsningsforslaget.

$y (t) = 10 000 \cdot e^{- 0,03 t}, y (10) \approx 7408 ørreter$

$y^{'} = - 0,03 y + c, y (0) = 10 000$

$c \approx 934 ørreter per år$

LøsningsforslagKI-generert

Bestanden avtar med $3,0 %$ per år. Det betyr at den relative tilveksten $\frac{y^{'}}{y}$ hele tiden er konstant lik $- 0,03$ (en negativ endring, siden bestanden minker). Dette gir sammenhengen

\frac{y^{'}}{y} = - 0,03 \Rightarrow y^{'} = - 0,03 y

Siden det er $10 000$ ørreter i vannet ved starten av 2018, altså når $t = 0$ , har vi initialbetingelsen $y (0) = 10 000$ . Dermed kan differensiallikningen

y^{'} = - 0,03 y, y (0) = 10 000

brukes til å bestemme ørretbestanden $y (t)$ $t$ år etter starten av 2018.

Differensiallikningen $y^{'} = - 0,03 y$ er separabel, og løsningen er en eksponentialfunksjon på formen $y (t) = y (0) \cdot e^{- 0,03 t}$ . Med $y (0) = 10 000$ får vi

y (t) = 10 000 \cdot e^{- 0,03 t}

År 2028 svarer til $t = 10$ (10 år etter starten av 2018), så

y (10) = 10 000 \cdot e^{- 0,3} \approx 7408

Se fisk(t) og fisk(10) i CAS-utklippet under (linje 1–2), som stemmer med utregningen.

CAS-utregning av ørretbestanden og konstantverdien c

Det vil altså være omtrent $7408 ørreter$ i vannet i 2028.

I tillegg til den naturlige, prosentvise avgangen på $3 %$ per år ( $- 0,03 y$ ), tilføres det nå et konstant antall ørreter $c$ per år ved kontinuerlig utsetting. Dette gir et ekstra, konstant positivt bidrag til veksten, uavhengig av hvor mange ørreter som allerede er i vannet. Differensiallikningen blir dermed

y^{'} = - 0,03 y + c, y (0) = 10 000

der $c$ er antall ørreter som settes ut per år, og $y (0) = 10 000$ fordi utsettingen starter tidlig i 2018, samtidig som utgangsbestanden er $10 000$ .

Løsningen av differensiallikningen i c) er

y (t) = \frac{c}{0,03} + (10 000 - \frac{c}{0,03}) \cdot e^{- 0,03 t}

Starten av 2027 svarer til $t = 9$ (siden $t = 0$ er starten av 2018). Målet er $y (9) = 15 000$ :

\frac{c}{0,03} + (10 000 - \frac{c}{0,03}) \cdot e^{- 0,03 \cdot 9} = 15 000

Dette er en lineær likning i $c$ . CAS gir (se fiskc(t) og løsningen av likningen i linje 3–4 i utklippet over)

c = \frac{1,5 \cdot 10^{15} \cdot e^{0,27} - 1 \cdot 10^{15}}{3 333 333 333 333 \cdot e^{0,27} - 3 333 333 333 333} \approx 934

Fiskeforeningen må altså sette ut omtrent $934 ørreter per år$ for å nå målet om $15 000$ ørreter ved starten av 2027.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2017, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Ørretbestand og differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ørretbestand og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ørretbestand og differensiallikning

Ørretbestand og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer