Optimering av materialkostnader for skap

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift skal produsere et skap formet som et rett prisme. Skapet skal ha kvadratisk bunn, og volumet skal være 800 L.

Materialet til sideflatene og toppen koster $230 {kroner/m}^{2}$ . Materialet til bunnen koster $450 {kroner/m}^{2}$ .

Rett prisme med kvadratisk bunn og sidelengde x

For hånd

Vis at de totale materialkostnadene er gitt ved

K (x) = 680 x^{2} + \frac{736}{x}, x > 0

der $x$ er lengden på sidene i bunnen, målt i meter.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $K$ .

Kalkulator

Bestem $x$ slik at materialkostnadene blir lavest mulig.

Fasit

Se løsningsforslag.

$x \approx 0,815 m$ , $K \approx 1355 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være sidelengden i den kvadratiske bunnen (i meter) og $h$ være høyden på skapet (i meter).

Volumkravet gir:

x^{2} \cdot h = 800 L = 0,8 m^{3} ⟹ h = \frac{0,8}{x^{2}}

Materialkostnadene beregnes for hver flate:

Bunn: $x^{2} \cdot 450$ kr
Topp: $x^{2} \cdot 230$ kr
Fire sidevegger: $4 \cdot (x \cdot h) \cdot 230$ kr

Totalt:

K (x) = 450 x^{2} + 230 x^{2} + 4 \cdot x \cdot \frac{0,8}{x^{2}} \cdot 230

K (x) = 680 x^{2} + \frac{4 \cdot 0,8 \cdot 230}{x} = 680 x^{2} + \frac{736}{x}

Grafen til $K (x) = 680 x^{2} + \frac{736}{x}$ for $x > 0$ :

Graf av K(x) = 680x² + 736/x

Grafen har et bunnpunkt (minimumspunkt) for $x \approx 0,815$ m.

Vi deriverer og setter den deriverte lik null:

K^{'} (x) = 1360 x - \frac{736}{x^{2}}

K^{'} (x) = 0 ⟹ 1360 x = \frac{736}{x^{2}} ⟹ x^{3} = \frac{736}{1360} = \frac{46}{85}

x = \sqrt[3]{\frac{46}{85}} \approx 0,815 m

Vi sjekker at dette er et minimum ved å kontrollere fortegnskiftet til $K^{'}$ : $K^{'} (x) < 0$ for $x < 0,815$ og $K^{'} (x) > 0$ for $x > 0,815$ , så dette er et minimum.

Den laveste materialkostnaden er:

K (0,815) = 680 \cdot {0,815}^{2} + \frac{736}{0,815} \approx 451,7 + 903,1 \approx 1355 kr

Materialkostnadene blir lavest mulig når $x \approx 0,815$ m (dvs. ca. 81,5 cm), og den laveste kostnaden er ca. 1355 kr.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2016, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Kostnadsfunksjon, Volum

Optimering av materialkostnader for skap

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Optimering av materialkostnader for skap

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Optimering av materialkostnader for skap

Optimering av materialkostnader for skap

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer