Optimal pris for størst inntekt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Dersom prisen på en bestemt vare er $p$ kroner per enhet, vil etterspørselen $q$ være gitt ved

q (p) = 500 \cdot e^{- 0,04 p}

Inntekten $I$ (i kroner) er

I (p) = p \cdot q (p)

Bestem den prisen som gir størst inntekt.

Vi kan også bestemme prisen $p$ som en funksjon av $q$ .

Vis at

p (q) = - 25 \cdot \ln (\frac{q}{500})

Bestem $p^{'} (25)$ . Hva forteller dette svaret oss?

Fasit

$p = 25 kr$

Vist ved å løse $q = 500 e^{- 0,04 p}$ for $p$

$p^{'} (25) = - 1$ . Ved etterspørsel $q = 25$ synker prisen med ca. 1 kr per ekstra enhet etterspurt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $I (p) = p \cdot q (p) = 500 p \cdot e^{- 0,04 p}$ .

Vi deriverer $I (p) = 500 p \cdot e^{- 0,04 p}$ med produktregelen:

\begin{matrix} I^{'} (p) & = 500 \cdot e^{- 0,04 p} + 500 p \cdot (- 0,04) \cdot e^{- 0,04 p} \\ = 500 \cdot e^{- 0,04 p} \cdot (1 - 0,04 p) \end{matrix}

Vi setter $I^{'} (p) = 0$ . Siden $500 \cdot e^{- 0,04 p} > 0$ for alle $p$ , må

1 - 0,04 p = 0 ⟹ p = \frac{1}{0,04} = 25

Vi sjekker fortegnskiftet: $I^{'} (p) > 0$ for $p < 25$ og $I^{'} (p) < 0$ for $p > 25$ , så dette er et maksimum.

Prisen som gir størst inntekt er $p = 25 kr$ .

Vi starter med $q = 500 e^{- 0,04 p}$ og løser for $p$ :

\begin{matrix} q & = 500 \cdot e^{- 0,04 p} \\ \frac{q}{500} & = e^{- 0,04 p} \\ \ln (\frac{q}{500}) & = - 0,04 p \\ p & = \frac{\ln (\frac{q}{500})}{- 0,04} = - 25 \cdot \ln (\frac{q}{500}) \end{matrix}

Dermed er $p (q) = - 25 \cdot \ln (\frac{q}{500})$ .

Vi deriverer $p (q) = - 25 \cdot \ln (\frac{q}{500}) = - 25 \cdot (\ln q - \ln 500)$ :

p^{'} (q) = - 25 \cdot \frac{1}{q} = - \frac{25}{q}

Ved $q = 25$ :

p^{'} (25) = - \frac{25}{25} = - 𝟏

Tolkning: Når etterspørselen er 25 enheter, vil én ekstra etterspurt enhet føre til at prisen synker med ca. 1 kr.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2018, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Optimering, Etterspørsel

Innstillinger