Omvendt funksjon og ladetid for kamerablits

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når du bruker blitsen på et fotokamera, vil batteriet lade den opp igjen. Ladningen $Q$ i blitsen $t$ sekunder etter at den går av, er gitt ved

Q (t) = Q_{0} (1 - e^{- 2,3 t}), t \geq 0

Her er $Q_{0}$ den maksimale ladningen i blitsen.

For hånd

Bestem den omvendte funksjonen til $Q$ .

Kalkulator

Hvor lang tid tar det før blitsen har fått 90 prosent av den maksimale ladningen?

Fasit

$t (Q) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})$

$t \approx 1,00$ sekunder

LøsningsforslagKI-generert

Vi har

Q (t) = Q_{0} (1 - e^{- 2,3 t})

og ønsker å uttrykke $t$ som funksjon av $Q$ .

Q = Q_{0} (1 - e^{- 2,3 t})

\frac{Q}{Q_{0}} = 1 - e^{- 2,3 t}

e^{- 2,3 t} = 1 - \frac{Q}{Q_{0}}

- 2,3 t = \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})

t = - \frac{1}{2,3} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}}) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})

Den omvendte funksjonen er altså

t (Q) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})

90 prosent av maksimal ladning er $Q = 0,9 Q_{0}$ . Vi setter inn i $t (Q)$ :

t (0,9 Q_{0}) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{0,9 Q_{0}}{Q_{0}}) = - \frac{10}{23} \ln (0,1) = \frac{10}{23} \ln (10)

t = \frac{10 \cdot 2,303 \dots}{23} \approx 1,00 sekunder

Det tar altså omtrent 1 sekund før blitsen har fått 90 % av den maksimale ladningen.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Funksjoner

Innstillinger