Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avgjør for hver av funksjonene nedenfor om den har en omvendt funksjon. Husk å begrunne svaret.

$f (x) = x^{4}$ , $D_{f} = ℝ$

$g (x) = e^{- {(x - 2)}^{2}}$ , $D_{g} = [2, \to ⟩$

Fasit

$f (x) = x^{4}$ har ikke omvendt funksjon på $D_{f} = ℝ$ .

$g (x) = e^{- {(x - 2)}^{2}}$ har omvendt funksjon på $D_{g} = [2, \to ⟩$ . Den omvendte funksjonen er $g^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- \ln x}$ , $D_{g^{- 1}} = ⟨ 0, 1]$ .

LøsningsforslagKI-generert

En funksjon har omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ulike $x$ -verdier alltid gir ulike funksjonsverdier.

Vi ser at

f (1) = 1^{4} = 1 og f (- 1) = {(- 1)}^{4} = 1

Her er $f (1) = f (- 1)$ , men $1 \neq - 1$ . Siden to ulike $x$ -verdier gir samme funksjonsverdi, er $f$ ikke injektiv på $ℝ$ .

$f (x) = x^{4}$ har derfor ingen omvendt funksjon på $D_{f} = ℝ$ .

Vi undersøker om $g (x) = e^{- {(x - 2)}^{2}}$ er injektiv på $D_{g} = [2, \to ⟩$ .

Deriverer:

g^{'} (x) = - 2 (x - 2) \cdot e^{- {(x - 2)}^{2}}

For $x > 2$ er $(x - 2) > 0$ , og siden $e^{- {(x - 2)}^{2}} > 0$ alltid, får vi

g^{'} (x) = - 2 (x - 2) \cdot e^{- {(x - 2)}^{2}} < 0

$g$ er altså strengt avtakende på $[2, \to ⟩$ . En strengt monoton funksjon er injektiv, så $g$ har omvendt funksjon.

Vi finner den omvendte funksjonen ved å bytte om $x$ og $y$ og løse for $y$ :

x = e^{- {(y - 2)}^{2}}

\ln x = - {(y - 2)}^{2}

{(y - 2)}^{2} = - \ln x

y - 2 = \sqrt{- \ln x}

(Positiv rot siden $y \geq 2$ på $D_{g}$ .)

y = 2 + \sqrt{- \ln x}

Definisjonsmengde for $g^{- 1}$ : Verdimengden til $g$ på $[2, \to ⟩$ blir definisjonsmengden til $g^{- 1}$ . Vi har $g (2) = e^{0} = 1$ og $g (x) \to 0$ når $x \to \infty$ , så verdimengden til $g$ er $⟨ 0, 1]$ .

Dermed:

g^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- \ln x}, D_{g^{- 1}} = ⟨ 0, 1]

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjoner

Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Lov på eksamen

Temaer