Omskrevet sirkel om likebeint trekant fra Mesopotamia

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skisse av likebeint trekant ABC med AB = 60 og AC = BC = 50, omskrevet sirkel med sentrum O og radius r

Figuren ovenfor er fra en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 700 f.Kr.).

Kalkulator

Velg én av framgangsmåtene nedenfor til å konstruere/tegne denne figuren.

Med passer, linjal og blyant:

Med dynamisk geometriprogram:

Babylonerne regnet ut radius $r$ i sirkelen ovenfor ved å bruke Pytagoras-setningen. Dette er trolig verdens eldste bruk av Pytagoras-setningen, ca. 1 200 år før Pytagoras selv levde!

Kalkulator

Regn ut radius $r$ i sirkelen.

Fasit

Konstruksjon — se løsningsforslag

$r = 31,25 mm$

LøsningsforslagKI-generert

Vi velger å bruke passer, linjal og blyant, slik det første forslaget i oppgaven beskriver (det går like fint å bruke et dynamisk geometriprogram som GeoGebra — da tegner vi de samme punktene og linjene digitalt i stedet for med passer og linjal, og skriver ut konstruksjonen).

Tegn trekanten. Tegn linjestykket $A B = 60 mm$ . Sett passerspissen i $A$ med åpning $50 mm$ , og tegn en bue over $A B$ . Gjør det samme fra $B$ med samme åpning. Der de to buene skjærer hverandre, ligger $C$ . Da er $A C = B C = 50 mm$ , og $△ A B C$ er likebeint.
Konstruer midtnormalen til $A B$ . Sett passerspissen i $A$ med en åpning større enn halve $A B$ , og tegn buer over og under $A B$ . Gjenta fra $B$ med samme åpning. Trekk en linje gjennom de to punktene der buene skjærer hverandre — denne linja står vinkelrett på $A B$ og går gjennom midtpunktet, altså midtnormalen til $A B$ .
Konstruer midtnormalen til $A C$ (eller $B C$ ) på samme måte.
Marker skjæringspunktet $O$ . De to midtnormalene skjærer hverandre i ett punkt, $O$ . Fordi $O$ ligger på midtnormalen til $A B$ , er $O$ like langt fra $A$ og $B$ . Fordi $O$ også ligger på midtnormalen til $A C$ , er $O$ like langt fra $A$ og $C$ . Dermed er $O$ like langt fra alle tre hjørnene — $O A = O B = O C = r$ .
Slå sirkelen. Sett passerspissen i $O$ med åpning $r = O A$ , og tegn sirkelen. Den går gjennom $A$ , $B$ og $C$ , og er den omskrevne sirkelen til trekanten.
Trekk radiene $A O$ , $B O$ og $C O$ .

Fordi trekanten er likebeint med $A C = B C$ , ligger $O$ på symmetrilinja til trekanten — linja fra $C$ ned til midtpunktet $M$ på $A B$ . Denne linja står vinkelrett på $A B$ .

Finner høyden $C M$ med Pytagoras. I den rettvinklede trekanten $A M C$ er $A M = \frac{60}{2} = 30 mm$ og $A C = 50 mm$ (hypotenusen):

\begin{matrix} C M^{2} + A M^{2} & = A C^{2} \\ C M^{2} & = 50^{2} - 30^{2} \\ C M^{2} & = 2500 - 900 = 1600 \\ C M & = \sqrt{1600} = 40 mm \end{matrix}

Finner radien $r$ . Siden $O$ ligger på linja $C M$ med avstand $r$ fra både $A$ og $C$ , er $O M = C M - r = 40 - r$ . I den rettvinklede trekanten $A M O$ gjelder Pytagoras’ setning:

r^{2} = A M^{2} + O M^{2} = 30^{2} + {(40 - r)}^{2}

Vi løser likningen for $r$ :

\begin{matrix} r^{2} & = 900 + (1600 - 80 r + r^{2}) \\ r^{2} & = 2500 - 80 r + r^{2} \\ r^{2} - r^{2} & = 2500 - 80 r + r^{2} - r^{2} \\ 0 & = 2500 - 80 r \\ 0 + 80 r & = 2500 - 80 r + 80 r \\ 80 r & = 2500 \\ \frac{80 r}{80} & = \frac{2500}{80} \\ r & = 31,25 \end{matrix}

Svar: Radien i den omskrevne sirkelen er $r = 31,25 mm$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2012, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Konstruksjon, Pytagoras, Sirkel, Geometri

Omskrevet sirkel om likebeint trekant fra Mesopotamia

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Omskrevet sirkel om likebeint trekant fra Mesopotamia

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Omskrevet sirkel om likebeint trekant fra Mesopotamia

Omskrevet sirkel om likebeint trekant fra Mesopotamia

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer