Vi legger origo nede til venstre i figuren, med $x$-aksen mot høyre og $y$-aksen oppover. Rutene har side $a$.

Ved å telle ruter ser vi at figuren er bygd opp av tre sirkler, alle med radius $a$:

• Sirkel 1 har sentrum $C_1=(a,a)$ (midt i venstre $2\times 2$-rute-blokk).
• Sirkel 2 har sentrum $C_2=(3a,a)$ (midt i høyre $2\times 2$-rute-blokk).
• Hakk-sirkelen har sentrum $C_3=(2a,0)$ nederst i midten. Bare den øvre halvparten av denne sirkelen (halvsirkelen over $y=0$) er klippet bort fra de to store sirklene — det er dette som lager den hvite “bukten” nederst i figuren.

Avstanden mellom $C_1$ og $C_2$ er $2a$, som er lik summen av radiene $a+a$. De to store sirklene tangerer altså hverandre, i punktet $T=(2a,a)$.

Nøkkelobservasjon: Punktene $C_1=(a,a)$, $T=(2a,a)$, $C_3=(2a,0)$ og $B_1=(a,0)$ er fire hjørner i én og samme rute i rutenettet — altså et kvadrat med side $a$. Siden $C_{1}T=C_1{B}_1=a$ (radius i sirkel 1) og $C_{3}T=C_3{B}_1=a$ (radius i hakk-sirkelen), ligger $T$ og $B_1$ på begge disse sirklene. Det betyr at hakk-sirkelen skjærer sirkel 1 nøyaktig i punktene $T$ og $B_1$, og vinkelen $\angle T{C}_1{B}_1=90°$ (hjørnevinkelen i kvadratet). Buen på sirkel 1 mellom $T$ og $B_1$ (den som vender inn mot hakket) er derfor nøyaktig en kvart sirkelbue, og denne kvartsirkelen blir byttet ut med en tilsvarende kvart bue på hakk-sirkelen. Det samme skjer symmetrisk med sirkel 2 og punktet $B_2=(3a,0)$.

a)

Omkrets. Hver av de to store sirklene bidrar med $\frac{3}{4}$ av sin egen omkrets til figurens ytterkant (den siste kvart-buen er byttet ut med hakkets bue):

$$2\cdot \frac{3}{4}\cdot 2\pi a=3\pi a$$

De to kvart-buene som er byttet ut, ligger begge på hakk-sirkelen, og til sammen utgjør de nøyaktig halve omkretsen av hakk-sirkelen (fra $B_1$ via $T$ til $B_2$):

$$\frac{1}{2}\cdot 2\pi a=\pi a$$

Total omkrets av figuren:

$$O=3\pi a+\pi a=4\pi a$$

Omkretsen av figuren er $\underline{\underline{O=4\pi a}}$.

b)

Areal. Vi finner først arealet som klippes bort fra sirkel 1 av hakket. Dette området (en “linse”) er formet av to sirkelsegmenter — ett fra sirkel 1 og ett fra hakk-sirkelen — som deler samme korde $T{B}_1$.

Sektoren i sirkel 1 med sentervinkel $90°$ og radius $a$ har areal

$$A_{\text{sektor}}=\frac{90}{360}\cdot \pi a^2=\frac{\pi a^2}{4}$$

Trekanten $C_{1}T{B}_1$ er rettvinklet og likebeint med katetlengde $a$ (siden $\angle T{C}_1{B}_1=90°$ og $C_{1}T=C_1{B}_1=a$), så

$$A_{△}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}$$

Sirkelsegmentet (arealet mellom korden $T{B}_1$ og buen) er da

$$A_{\text{segment}}=A_{\text{sektor}}-A_{△}=\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2}$$

Av symmetri er segmentet fra hakk-sirkelen like stort. Det bortklipte “linse”-arealet fra sirkel 1 er summen av de to segmentene:

$$A_{\text{lense}}=2(\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2})=\frac{\pi a^2}{2}-a^2$$

Arealet av sirkel 1 minus det som klippes bort av hakket:

$$\pi a^2-(\frac{\pi a^2}{2}-a^2)=\frac{\pi a^2}{2}+a^2$$

Det samme gjelder for sirkel 2. Siden sirkel 1 og sirkel 2 bare tangerer hverandre (ingen felles areal), blir totalarealet av figuren

$$A=2(\frac{\pi a^2}{2}+a^2)=\pi a^2+2a^2=(\pi +2)a^2$$

Arealet av figuren er $\underline{\underline{A=(\pi +2)a^2}}$.