Omkrets og areal av skomakerkniven til Arkimedes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Arkimedes studerte en geometrisk figur som lignet en skomakerkniv. Se det blå området av figuren nedenfor.

Tre halvsirkler over en rett linje: en stor halvsirkel fra A til B med sentrum i C, og to like små halvsirkler fra A til C og fra B til C. Området mellom den store halvsirkelen og de to små er farget blått

Det blå området er avgrenset av

en halvsirkel fra A til B, med sentrum i C
en halvsirkel fra A til C og en halvsirkel fra B til C

$A C = B C = 10$ cm

Kalkulator

Finn omkretsen av skomakerkniven til Arkimedes (det blå området).

Kalkulator

Finn arealet av skomakerkniven til Arkimedes (det blå området).

Kalkulator

Finn en formel for arealet av skomakerkniven til Arkimedes (det blå området). Bruk at $r$ er radius i hver av de små halvsirklene.

Fasit

$O = 20 π \approx 62,8 cm$

$A = 25 π \approx 78,5 {cm}^{2}$

$A = π r^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Skomakerkniven er avgrenset av tre halvsirkelbuer: én stor halvsirkelbue fra A til B, og to like små halvsirkelbuer fra A til C og fra B til C.

Den store halvsirkelen har diameter $A B = A C + C B = 10 + 10 = 20$ cm, altså radius $R = 10$ cm. Hver av de to små halvsirklene har diameter $10$ cm, altså radius $r = 5$ cm.

Buelengden til en halvsirkel er halvparten av omkretsen til en hel sirkel, altså $π \cdot radius$ .

Stor halvsirkelbue:

π \cdot 10 = 10 π cm

De to små halvsirkelbuene til sammen:

2 \cdot π \cdot 5 = 10 π cm

Omkretsen av skomakerkniven er summen av disse tre buelengdene:

\begin{matrix} O & = 10 π + 10 π \\ = 20 π \\ \approx 62,8 cm \end{matrix}

$O \approx 62,8 cm$

Arealet av skomakerkniven (det blå området) er arealet av den store halvsirkelen minus arealet av de to små halvsirklene.

Arealet av en halvsirkel er halvparten av arealet til en hel sirkel, altså $\frac{1}{2} π \cdot {radius}^{2}$ .

Stor halvsirkel ( $R = 10$ cm):

\frac{1}{2} π \cdot 10^{2} = \frac{1}{2} π \cdot 100 = 50 π {cm}^{2}

De to små halvsirklene ( $r = 5$ cm) til sammen:

2 \cdot \frac{1}{2} π \cdot 5^{2} = 2 \cdot 12,5 π = 25 π {cm}^{2}

Arealet av skomakerkniven blir da:

\begin{matrix} A & = 50 π - 25 π \\ = 25 π \\ \approx 78,5 {cm}^{2} \end{matrix}

$A \approx 78,5 {cm}^{2}$

Vi skal skrive arealet som en formel når $r$ er radiusen i hver av de små halvsirklene, i stedet for det faste tallet $5$ .

Diameteren i hver liten halvsirkel er da $2 r$ , slik at $A C = B C = 2 r$ . Diameteren i den store halvsirkelen blir

A B = A C + C B = 2 r + 2 r = 4 r

og radiusen i den store halvsirkelen blir

R = \frac{A B}{2} = \frac{4 r}{2} = 2 r

Vi setter dette inn i uttrykket for arealet, på samme måte som i b):

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} π R^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} π r^{2} \\ = \frac{1}{2} π {(2 r)}^{2} - π r^{2} \\ = \frac{1}{2} π \cdot 4 r^{2} - π r^{2} \\ = 2 π r^{2} - π r^{2} \\ = π r^{2} \end{matrix}

Arealformelen for skomakerkniven er altså like enkel som arealet av en vanlig sirkel med radius $r$ . Setter vi inn $r = 5$ cm, får vi $A = π \cdot 5^{2} = 25 π {cm}^{2}$ , som stemmer med svaret i b).

$A = π r^{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2009, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Areal og omkrets, Sirkel, Formler, Argumentasjon

Omkrets og areal av skomakerkniven til Arkimedes

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Omkrets og areal av skomakerkniven til Arkimedes

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Omkrets og areal av skomakerkniven til Arkimedes

Omkrets og areal av skomakerkniven til Arkimedes

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer