For å gjøre jobben enklere for meg selv så vil jeg flytte sirkelen fra $S(a,0)$ til $S^*(0,a)$ og rotere sirkelen om $x$-aksen istedenfor om $y$-aksen. Sirkelens radius er fremdeles $R< a$.

En sirkel har likningen $x^{2}+y^{2}=R^{2}$, eller omskrevet for $y$ får vi

$$y=\pm \sqrt{ R^{2} - x^{2} }$$

Der den positive løsningen vil gi oss den øvre halvsirkelen, og den negative løsningen gir oss den nedre halvsirkelen.

Vår sirkel er forskjøvet med $a$ enheter i positiv $y$-retning, derfor er uttrykket for sirkelen vår

$$y=\pm \sqrt{ R^{2}-x^{2} }+a$$

Vi kan bruke formelen for omdreiningslegeme for å finne volumet. Vi bruker først formelen for den øvre halvsirkelen og finner dermed volumet av en slags smultring uten hull. Deretter lager vi et hull i smultringen ved å trekke fra volumet av omdreiningslegemet definert av den nedre halvsirkelen.

Formelen for 360º omdreining rundt $x$-aksen er

$$V=\pi \int_{a}^{b} \left( f(x) \right) ^{2} \, dx$$

Grensene for integrasjonen er $x=-R$ og $x=R$.

$R$ er positiv, så vi har $\text{sgn}(R)=1$ i vårt tilfelle (se faktaboks lenger nede for mer info).

Volumet av omdreiningslegemet er $2\pi^{2} R^{2}a$, som skulle vises.