Omdreiningslegeme av eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 e^{- \frac{1}{2} x}, x \in [0, \ln 3]

Vi roterer grafen til $f$ $360 °$ om $x$ -aksen.

Vis at volumet $V$ av omdreiningslegemet blir $V = \frac{8}{3} π$

Fasit

$V = \frac{8}{3} π$

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av et omdreiningslegeme som oppstår når grafen til $f$ roteres $360 °$ om $x$ -aksen på intervallet $[a, b]$ , er gitt ved

V = π \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x

Vi setter inn $f (x) = 2 e^{- \frac{1}{2} x}$ , $a = 0$ og $b = \ln 3$ . Først finner vi ${(f (x))}^{2}$ :

{(f (x))}^{2} = {(2 e^{- \frac{1}{2} x})}^{2} = 4 e^{- x}

Dette gir

V = π \int_{0}^{\ln 3} 4 e^{- x} d x = π {[- 4 e^{- x}]}_{0}^{\ln 3}

V = π (- 4 e^{- \ln 3} - (- 4 e^{0})) = π (- 4 \cdot \frac{1}{3} + 4) = π (- \frac{4}{3} + 4) = π \cdot \frac{8}{3}

Dermed er $V = \frac{8}{3} π$ , som skulle vises.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2015, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Eksponentialfunksjon, Bestemt integral

Innstillinger