Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Linjestykke OP fra origo til punkt P

Et linjestykke $O P$ går fra origo til punktet $P$ som vist på figuren ovenfor. Punktet $(2, 3)$ ligger på linjestykket. Dreier vi dette linjestykket om $x$ -aksen, får vi et omdreiingslegeme med volum $V$ .

Volumet $V$ av en kjegle med radius $r$ og høyde $h$ er gitt ved

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Kjegle med høyde h og radius r

Bestem $h$ slik at $V$ blir $48 π$ .

Bruk et omdreiingslegeme til å bevise formelen for volumet av en kjegle.

Fasit

$h = 4$

Se bevis.

LøsningsforslagKI-generert

Linjestykket $O P$ går gjennom origo og punktet $(2,3)$ , så stigningstallet er $\frac{3}{2}$ . Linja har likning

f (x) = \frac{3}{2} x

Når vi dreier grafen til $f$ om $x$ -aksen fra $x = 0$ til $x = h$ , dannes en kjegle med volum

V = π \int_{0}^{h} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{0}^{h} {(\frac{3}{2} x)}^{2} d x = π \int_{0}^{h} \frac{9}{4} x^{2} d x

V = π \cdot \frac{9}{4} \cdot {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{h} = π \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{h^{3}}{3} = \frac{3}{4} π h^{3}

Setter vi $V = 48 π$ :

\frac{3}{4} π h^{3} = 48 π

h^{3} = 48 \cdot \frac{4}{3} = 64

h = \sqrt[3]{64} = 4

h = 4

La kjegla ha radius $r$ og høyde $h$ . Vi tenker oss kjegla dannet ved å dreie linjestykket fra origo $O (0,0)$ til punktet $P (h, r)$ om $x$ -aksen. Linja gjennom $O$ og $P$ har stigningstall $\frac{r}{h}$ , altså

f (x) = \frac{r}{h} x, x \in [0, h]

Volumet av omdreiingslegemet er

V = π \int_{0}^{h} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{0}^{h} \frac{r^{2}}{h^{2}} x^{2} d x = π \frac{r^{2}}{h^{2}} {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{h}

V = π \frac{r^{2}}{h^{2}} \cdot \frac{h^{3}}{3} = \frac{1}{3} π r^{2} h

Dette er nettopp formelen for volumet av en kjegle med radius $r$ og høyde $h$ , og beviset er fullført.

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2022, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Bevis

Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum

Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum

Lov på eksamen

Temaer