Oddetall og differanse mellom kvadrattall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

La $p$ være et oddetall større enn 1.

Forklar at $\frac{p + 1}{2}$ og $\frac{p - 1}{2}$ begge er hele tall.

Regn ut ${(\frac{p + 1}{2})}^{2} - {(\frac{p - 1}{2})}^{2}$ .

Bruk resultatet til å skrive 151 som differansen mellom to kvadrattall.

Fasit

Se løsningsforslag.

${(\frac{p + 1}{2})}^{2} - {(\frac{p - 1}{2})}^{2} = p$ , og $151 = 76^{2} - 75^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $p$ er et oddetall, kan vi skrive $p = 2 n + 1$ for et helt tall $n$ . Da er

p + 1 = 2 n + 2 = 2 (n + 1) og p - 1 = 2 n

Begge er altså partall (delelige med 2), så

\frac{p + 1}{2} = n + 1 og \frac{p - 1}{2} = n

er hele tall.

Vi bruker konjugatsetningen $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ med $a = \frac{p + 1}{2}$ og $b = \frac{p - 1}{2}$ :

{(\frac{p + 1}{2})}^{2} - {(\frac{p - 1}{2})}^{2} = (\frac{p + 1}{2} - \frac{p - 1}{2}) (\frac{p + 1}{2} + \frac{p - 1}{2})

= (\frac{2}{2}) (\frac{2 p}{2}) = 1 \cdot p = p

Differansen mellom de to kvadrattallene er altså alltid lik $p$ .

Siden $151$ er et oddetall større enn $1$ , kan vi bruke $p = 151$ . Da er

\frac{p + 1}{2} = \frac{152}{2} = 76 og \frac{p - 1}{2} = \frac{150}{2} = 75

Fra resultatet i b) vet vi at

76^{2} - 75^{2} = 151

Svar: $151 = 76^{2} - 75^{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2014, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Algebra, Bevis, Argumentasjon

Innstillinger