Nullpunkter og ekstremalpunkter for g

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved $g (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2}$

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$ .

Vis at $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)$

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

$x = \frac{1}{2}$ (dobbelrot)

Se løsningsforslag.

Toppunkt: $(- \frac{3}{2}, 8 e^{- 3 / 2})$ , bunnpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne nullpunktene til $g (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2}$ .

g (x) = 0 ⟺ \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2} = 0

Siden $\frac{1}{2} e^{x} > 0$ for alle $x$ , må ${(2 x - 1)}^{2} = 0$ .

2 x - 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{2}

$g$ har ett nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$ (dobbelrot).

Vi bruker produktregelen på $g (x) = u (x) \cdot v (x)$ med

u (x) = \frac{1}{2} e^{x}, v (x) = {(2 x - 1)}^{2}

u^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x}, v^{'} (x) = 2 (2 x - 1) \cdot 2 = 4 (2 x - 1)

Produktregelen gir

g^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'} = \frac{1}{2} e^{x} {(2 x - 1)}^{2} + \frac{1}{2} e^{x} \cdot 4 (2 x - 1)

Vi faktoriserer ut $\frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1)$ :

g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) [(2 x - 1) + 4] = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)

Dette er det vi skulle vise. $■$

Vi setter $g^{'} (x) = 0$ . Siden $\frac{1}{2} e^{x} > 0$ for alle $x$ , er det tilstrekkelig å løse

(2 x - 1) (2 x + 3) = 0

x = \frac{1}{2} eller x = - \frac{3}{2}

Vi bestemmer fortegnet til $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (2 x - 1) \cdot (2 x + 3)$ :

Fortegnslinje for g'(x) med sjablongkurve for g(x)

$g$ har et toppunkt i $x = - \frac{3}{2}$ og et bunnpunkt i $x = \frac{1}{2}$ .

Vi beregner $y$ -verdiene:

g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{1 / 2} \cdot {(2 \cdot \frac{1}{2} - 1)}^{2} = \frac{1}{2} e^{1 / 2} \cdot 0 = 0

g (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot {(2 \cdot (- \frac{3}{2}) - 1)}^{2} = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot {(- 4)}^{2} = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot 16 = 8 e^{- 3 / 2}

Koordinater:

Toppunkt: $(- \frac{3}{2}, 8 e^{- 3 / 2})$
Bunnpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Kandidater som viser god kompetanse innen derivasjon, men ikke kommer fram til riktig svar kan få 1 poeng. Kandidater som deriverer riktig, men som ikke viser faktorisering, får 2 poeng.

Kandidater som kun finner $x$ -verdiene til punktene, kan få 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidatene argumentere for om punktene er topp- eller bunnpunkter.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2025, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk

Nullpunkter og ekstremalpunkter for g

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Nullpunkter og ekstremalpunkter for g

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Nullpunkter og ekstremalpunkter for g

Nullpunkter og ekstremalpunkter for g

Lov på eksamen

Temaer