Normalfordelt hoppkonkurranse
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
2 av 3 deloppgaver kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse. Tabellen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for lengden på et hopp for hver av de tre hopperne. Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt.
| Forventningsverdi | Standardavvik | |
|---|---|---|
| Birger | 70 meter | 20 meter |
| Maren | 80 meter | 5 meter |
| Espen | 75 meter | 10 meter |
Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.
I første omgang hoppet Maren 83 meter.
Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.
I andre omgang gjør alle et nytt hopp.
Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.
Fasit
0,1587, 0,0228 og 0,0668
0,5849
Omtrent 47,4 %
Løsningsforslag
La være lengdene av hoppene til henholdsvis Birger, Maren og Espen.
Vi bestemmer sannsynligheten for at hver av dem hopper 90 meter eller lengre ved hjelp av sannsynlighetsvinduet i GeoGebra, se skjermbildet under. (Kun Birgers utklipp er vist).
Sannsynlighetene for at Birger, Maren og Espen hopper lengre enn 90 meter er i ett tilfeldig hopp er henholdsvis 0,1587, 0,0228 og 0,0668.
Hvis Maren skal hoppe lengst med et hopp på 83 meter så må både og . Vi kan bruke multiplikasjonsprinsippet for å finne sannsynligheten for at begge disse utfallene skjer samtidig. Igjen bestemmer vi sannsynligheten ved hjelp av sannsynlighetsvinduet i GeoGebra.
Sannsynligheten for at Maren vinner med et hopp på 83 meter er 0,5849.
Vi lager en simulering i Python hvor vi trekker hopplengder ut fra normalfordelingene til , og . Deretter sjekker vi om Marens hopp er det lengste hoppet.
from random import gauss
N = 100_000
antall_gunstige = 0
for i in range(N):
# Trekker hopplengder fra normalfordelingene
B = gauss(70, 20)
M = gauss(80, 5)
E = gauss(75, 10)
# Sjekker om Marens hopp er lengre enn både Espens og Birgers
if (M > B and M > E):
antall_gunstige += 1
ssh = antall_gunstige / N
print(f"Det er omtrent {ssh * 100:.2f} % sannsynlighet for at Maren hopper lengst i andre omgang")Etter å ha kjørt programmet flere ganger ser jeg at sannsynligheten er stabil på omtrent 47,4 %.
Det er omtrent 47,4 % sannsynlighet for at Maren hopper lengst i andre omgang.
Sensorveiledning
Oppgaven gir til sammen 6 poeng
Riktig sannsynlighet for 1 skihopper kan gi 1 poeng.
Riktig strategi kan gi 1 poeng.
Simulering med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng. Simulering med riktig strategi, men med små feil som fører til feil svar, kan få 2 poeng.