I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

La $X$ være normalfordelt med forventningsverdi $\mu =1$ og varians ${\sigma }^2=4$.

a)

Bestem $P(2<X<3)$.

Om en annen normalfordelt stokastisk variabel $Y$ får du vite at $P(Y\le \mathrm{0,92})=\mathrm{0,0228}$ og $P(Y\ge \mathrm{1,41})=\mathrm{0,0668}$.

b)

Bestem $\mu$ og $\sigma$.

Fasit

a)

$P(2<X<3)\approx \mathrm{0,15}$

b)

$\mu =\mathrm{1,20}$ og $\sigma =\mathrm{0,14}$

LøsningsforslagKI-generert

a)

$X$ er normalfordelt med $\mu =1$ og ${\sigma }^2=4$, altså $\sigma =2$.

Vi standardiserer:

$$z_1=\frac{2-1}{2}=\mathrm{0,5}{z}_2=\frac{3-1}{2}=\mathrm{1,0}$$

$$P(2<X<3)=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,0})-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,6915}=\underline{\underline{\mathrm{0,1498}\approx \mathrm{0,15}}}$$

b)

Vi slår opp i tabellen og finner $z$-verdiene:

$$P(Y\le \mathrm{0,92})=\mathrm{0,0228}⟹\frac{\mathrm{0,92}-\mu }{\sigma }=-\mathrm{2,00}$$

$$P(Y\ge \mathrm{1,41})=\mathrm{0,0668}⟹P(Y\le \mathrm{1,41})=\mathrm{0,9332}⟹\frac{\mathrm{1,41}-\mu }{\sigma }=\mathrm{1,50}$$

Vi har likningssystemet:

$$\mathrm{0,92}-\mu =-2\sigma \text{(I)}$$

$$\mathrm{1,41}-\mu =\mathrm{1,5}\sigma \text{(II)}$$

Trekker (I) fra (II):

$$\mathrm{1,41}-\mathrm{0,92}=\mathrm{1,5}\sigma +2\sigma ⟹\mathrm{0,49}=\mathrm{3,5}\sigma ⟹\sigma =\mathrm{0,14}$$

Setter inn i (I):

$$\mu =\mathrm{0,92}+2\cdot \mathrm{0,14}=\mathrm{1,20}$$

$$\underline{\underline{\mu =\mathrm{1,20}\text{og}\sigma =\mathrm{0,14}}}$$